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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.5 - Ex. 28

27 – 30 Utilize a Equação 6 para determinar d y / d x .

28 –

y 5 + x ² y ³ = 1 + y . e x ²

Passo 1

Faaaala galera! Tudo certo?

A questão nos dá a equação

y 5 + x ² y ³ = 1 + y . e x ²

e pede a derivada d y / d x através da equação 6, que é

d y d x =   - ∂ F ∂ x ∂ F ∂ y

onde F x , y = 1 + y ⋅ e x ² - y 5 - x ² y ³

Portanto, nosso trabalho se resume a calcular as derivadas parciais de F , F x   e F y   e substituir na expressão acima.

Tranquilo? Vem comigo então.

Passo 2

Sendo F x , y dada por

F x , y = 1 + y ⋅ e x ² - y 5 - x ² y ³

As derivadas parciais ficam

∂ F ∂ x = ∂ ∂ x 1 + y ⋅ e x 2 - y 5 - x 2 y 3

∂ F ∂ x = y ⋅ ∂ e x 2 ∂ x - y 3 ∂ ∂ x x 2  

Vamos precisar da regra da cadeia no primeiro termo. O resultado é:

∂ F ∂ x = 2   x   y ⋅ e x 2 - 2   x   y 3

Agora derivando com relação a y :

∂ F ∂ y = ∂ ∂ y 1 + y ⋅ e x 2 - y 5 - x 2 y 3

∂ F ∂ y = e x 2 - 5 y 4 - 3 x 2 y 2

Passo 3

Finalmente, podemos substituir na equação 6:

d y d x =   - ∂ F ∂ x ∂ F ∂ y

d y d x =   - 2   x   y ⋅ e x 2 - 2   x   y 3 e x 2 - 5 y 4 - 3 x 2 y 2

Resposta

d y d x =   - 2   x   y ⋅ e x 2 - 2   x   y 3 e x 2 - 5 y 4 - 3 x 2 y 2

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