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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.6 - Ex. 57

Mostre que a soma das intersecções x , y e z de qualquer plano tangente à superfície

x + y + z = c

É uma constante.

Passo 1

Opaa!! Tudo tranquilinho??

Seguinte... o enunciado nos deu essa expressão:

x + y + z = c

Onde c é uma constante.

Queremos demonstrar que a soma das intersecções x , y e z de qualquer plano tangente à superfície dada pela expressão acima é uma constante.

Mas como fazemos isso???

Bom... a gente pode pegar essa expressão e transformar em uma função f para, em seguida, aplicar a equação do plano tangente:

∂ f ∂ x x 0 , y 0 , z 0 x - x 0 + ∂ f ∂ y x 0 , y 0 , z 0 y - y 0 + ∂ f ∂ z x 0 , y 0 , z 0 z - z 0 = 0

Lembrando que estamos utilizando um ponto genérico x 0 , y 0 , z 0 .

Observação: Para a gente transformar nossa expressão em uma função, basta colocarmos todos os termos de um lado da igualdade e chamar a expressão de f , veja:

x + y + z = c ∴

f x , y , z = x + y + z - c

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Primeiro vamos calcular as derivadas parciais.

Para isso, basta lembrar que vamos derivar a nossa expressão em relação a variável que estamos tratando e vamos fazer todo o resto como constante.

Com isso, temos que a derivada em relação a x é dada por:

f x = ∂ ∂ x x + y + z - c ∴

f x = ∂ ∂ x x ∴

f x = 1 2 x

Aplicando o ponto x 0 , y 0 , z 0 , temos:

f x x 0 , y 0 , z 0 = 1 2 x 0

De forma análoga, temos que a derivada em relação a y é dada por:

f y = ∂ ∂ y x + y + z - c ∴

f y = ∂ ∂ y y ∴

f y = 1 2 y

Aplicando o ponto x 0 , y 0 , z 0 , temos:

f y x 0 , y 0 , z 0 = 1 2 y 0

E a derivada com relação a z é dada da seguinte forma:

f z = ∂ ∂ z x + y + z - c ∴

f z = ∂ ∂ z z ∴

f z = 1 2 z

Aplicando o ponto x 0 , y 0 , z 0 , temos:

f y x 0 , y 0 , z 0 = 1 2 z 0

Passo 3

Assim, aplicando na equação do plano tangente, temos:

∂ f ∂ x x 0 , y 0 , z 0 x - x 0 + ∂ f ∂ y x 0 , y 0 , z 0 y - y 0 + ∂ f ∂ z x 0 , y 0 , z 0 z - z 0 = 0 ∴

1 2 x 0 x - x 0 + 1 2 y 0 y - y 0 + 1 2 z 0 z - z 0 = 0

Reorganizando a expressão, obtemos:

x 2 x 0 + y 2 y 0 + z 2 z 0 = z 0 + y 0 + z 0 2

Passo 4

A gente sabe que, de acordo com o enunciado:

x 0 + y 0 + z 0 = c

Logo, podemos concluir que, da expressão do final do passo anterior, fica:

x x 0 + y y 0 + z z 0 = c

Agora vamos encontrar os pontos de interseção.

Passo 5

Para calcular o ponto de interseção em x , fazemos y = z = 0 , portanto:

x x 0 = c ∴

x = c x 0

Analogamente, para y , fazemos x = z = 0 . Assim, temos:

y y 0 = c ∴

y = c y 0

E, para z , de forma similar, obtemos:

z z 0 = c ∴

z = c z 0

Agora vamos somar os pontos de interseção:

c x 0 + c y 0 + c z 0 ∴

= c x 0 + c y 0 + c z 0

Colocado o c em evidência, temos:

= c x 0 + y 0 + z 0

Já vimos que x 0 + y 0 + z 0 = c , portanto:

= c c ∴

= c

Pronto!!! Está provado!!! 😉

Resposta

Demonstração

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