Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).

f(x, y) = x²y

x^2 + 2y^2 = 6

Passo 1

Opa, tudo tranquilo? Questãozinha de multiplicador de Lagrange, vamos lá!

A questão nos dá a função f x ,   y = x ² y e a restrição x 2 + 2 y 2 = 6 , e em seguida nos pede para determinar o valor máximo e mínimo da função usando multiplicadores de Lagrange!

Mas como fazemos isso?

O método de Lagrange propõe que: Para determinar os valores máximo e mínimo de uma função f x , y sujeita à restrição g x , y = k nós podemos usar a seguinte fórmula

∇ f x , y = λ ⋅ ∇ g x , y

Onde λ é o nosso multiplicador de Lagrange!

Assim, definindo o gradiente (as derivadas parciais) da função e das restrições, nós podemos procurar por valores de x , y e λ que satisfaçam essa expressão!

Dessa forma, quando tivermos todos os pontos de interesse, o valor máximo e o mínimo serão, respectivamente, os pontos que tiverem maior e menor valor de f ( x , y ) !

Passo 2

A expressão que relaciona a função às restrições com os multiplicadores de Lagrange é

∇ f = λ ∇ g

Onde f x ,   y = x ² y e g x , y = x 2 + 2 y 2

Como o gradiente é o conjunto das derivadas parciais, então podemos reescrever isso como

( f x , f y )   = λ ( g x , g y )

Calculando essas derivadas parciais, encontramos

∂ f ∂ x = ∂ ∂ x x ² y  

f x = 2 x y

∂ f ∂ y = ∂ ∂ y x ² y  

f y = x ²

∂ g ∂ x = ∂ ∂ x x 2 + 2 y 2

g x = 2 x

∂ g ∂ x = ∂ ∂ x x 2 + 2 y 2

g y = 4 y

De forma que ficamos com o seguinte

( 2 x y ,   x ² )   = λ ( 2 x ,   4 y )

Dessa expressão “matricial” obtemos o seguinte sistema de equações

2 x y =   2 λ x

x ² =   4 λ y

E além disso, considerando a restrição também temos

x 2 + 2 y 2 = 6

Agora precisamos analisar esse sistema de equações para obter os pontos de interesse e avaliar quem são o máximo e o mínimo da função!

Passo 3

Temos o sistema

2 x y =   2 λ x

x ² =   4 λ y

x 2 + 2 y 2 = 6

Para tornar a primeira expressão verdadeira temos duas possibilidades

x = 0

Ou

λ = y

Mas caso suponhamos x = 0 , da segunda equação temos então que

y = 0

Ou

λ = 0

Ora, mas se continuarmos com a suposição e considerarmos y = 0 então na expressão da restrição teríamos

x 2 + 2 ⋅ 0 2 = 6

x 2 = 6

E isso contradiria a suposição inicial de que x = 0 ! Dessa forma, podemos descartar esse cenário.

Nos resta então o cenário onde λ = y ! Se substituirmos esse valor na segunda expressão temos

x ² =   4 y ²

E substituindo isso na expressão da restrição temos

( 4 y ) 2 + 2 y 2 = 6

y = ± 1

Dessa forma, substituindo y = 1 e y = - 1 em alguma das expressões (lembrando que λ = y ) nós obtemos, para ambos os casos,

x = ± 2

Dessa forma temos os seguintes pontos de interesse que satisfazem a equação dos multiplicadores de Lagrange

2 ,   1

- 2 ,   1

2 ,   - 1

- 2 ,   - 1

Se testarmos o valor da função nesses pontos obtemos

f 2 ,   1 = 4

f - 2 ,   1 = 4

f 2 ,   - 1 = - 4

f - 2 ,   - 1 = - 4

Portanto, os máximos são   f ( ± 2 ,   1 ) = 4 e os mínimos são f ( ± 2 , - 1 ) = - 4 .

Resposta

Os máximos são   f ( ± 2 ,   1 ) = 4 e os mínimos são f ( ± 2 , - 1 ) = - 4 .

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