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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.8 - Ex. 25

Utilize os multiplicadores de Lagrange para dar uma solução alternativa aos exercícios da Seção 14.7 indicados

Exercício 39

Passo 1

Opa, tudo tranquilo? Questãozinha de multiplicador de Lagrange, vamos lá!

O enunciado cita pra gente o exercício 39:

“Determine a menor distância entre o ponto ( 2 ,   1 , - 1 ) e o plano x + y - z = 1 .”

E nos pede para resolvê-lo usando o método dos multiplicadores de Lagrange! Mas o que exatamente é isso?

O método de Lagrange propõe que: Para determinar os valores máximo e mínimo de uma função f x , y , z sujeita à uma restrição g x , y , z = k nós podemos usar a seguinte fórmula

∇ f x , y , z = λ ⋅ ∇ g x , y , z

Onde λ é o nosso multiplicador de Lagrange!

Assim, definindo o gradiente da função e da restrição, nós podemos procurar por valores de x , y ,   z e λ que satisfaçam essa expressão!

E dessa forma, o plano proposto no enunciado é a nossa restrição!

x + y - z = 1

Ou ainda

g x , y , z = x + y - z

Mas qual é a função que estamos tentando maximizar/minimizar?

O enunciado nos diz “mais próximo do ponto ( 2 ,   1 , - 1 ) ” então nós queremos minimizar uma função f x , y , z que descreve a distância de um ponto genérico x , y , z até ( 2 ,   1 , - 1 ) !

E essa distância pode ser dada por

D ² = ( x - 2 ) 2 + ( y - 1 ) 2 + ( z + 1 ) 2

Mas se minimizarmos D ² nós também estamos minimizando D ! De forma que a função será

f x , y , z = ( x - 2 ) 2 + ( y - 1 ) 2 + ( z + 1 ) 2

Passo 2

Para montarmos a nossa expressão do multiplicador de Lagrange, precisamos primeiramente encontrar os gradientes ∇ f e ∇ g ! Como o gradiente nada mais é que o conjunto das derivadas parciais, nós teremos:

Para ∇ f

∂ f ∂ x = ∂   ( ( x - 2 ) 2 + ( y - 1 ) 2 + ( z + 1 ) 2 ) ∂ x

∂ f ∂ x = 2 ( x - 2 )

∂ f ∂ y = ∂   ( ( x - 2 ) 2 + ( y - 1 ) 2 + ( z + 1 ) 2 ) ∂ y

∂ f ∂ y = 2 ( y - 1 )

∂ f ∂ z = ∂   ( ( x - 2 ) 2 + ( y - 1 ) 2 + ( z + 1 ) 2 ) ∂ z

∂ f ∂ z = 2 ( z + 1 )

De forma que

∇ f = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z

∇ f = 2 x - 2 , 2 y - 1 , 2 ( z + 1 )

Para ∇ g

∂ g ∂ x = ∂   ( x + y - z ) ∂ x

∂ g ∂ x = 1

∂ g ∂ y = ∂   ( x + y - z ) ∂ y

∂ g ∂ y = 1

∂ g ∂ z = ∂   ( x + y - z ) ∂ z

∂ g ∂ z = - 1

De forma que

∇ g = ∂ g ∂ x , ∂ g ∂ y , ∂ g ∂ z

∇ g = 1 ,   1 ,   - 1

Ou ainda

λ ⋅ ∇ g = λ ,   λ ,   - λ

Passo 3

Agora que temos todos os termos da expressão, podemos escrever

2 x - 2 , 2 y - 1 , 2 ( z + 1 ) = λ ,   λ ,   - λ

Agora vamos analisar cada uma das igualdades!

Temos o seguinte sistema:

2 x - 2 = λ

2 y - 1 = λ

2 z + 1 = - λ

E incluindo a restrição, temos também

x + y - z = 1

Isolando os valores de x , y e z nas primeiras equações temos

x = λ 2 + 2

y = λ 2 + 1

z = - λ 2 - 1

E se substituirmos esses valores na equação da restrição obtemos

λ 2 + 2 + λ 2 + 1 - ( - λ 2 - 1 ) = 1

λ = - 2

E substituindo λ nós obtemos os valores de x , y e z !

x = 1

y = 0

z = 0

Isto é, o ponto que torna a expressão com os multiplicadores de Lagrange verdadeira é x ,   y ,   z = ( 1 ,   0 ,   0 ) !

Como só obtemos um ponto de interesse, esse é o ponto que dá a distância mínima entre o plano e o ponto ( 2,1 , - 1 ) ! De brinde, se substituirmos na fórmula da distância obtemos D = 3 !

Resposta

D = 3 é a distância mínima entre o ponto ( 2,1 , - 1 ) e o plano x + y - z = 1 .

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