Descreva as superfícies de nível da função.

f(x, y, z) = x^2 - y^2 + z^2

Passo 1

Olá, meu querido. Vamos resolver essa atividade junto, beleza?

A gente tem a função:

f x , y , z = x 2 - y 2 + z 2

E precisamos descrever as superfícies de nível.

Para descrever as superfícies de nível da função, basta fazer

f x , y , z = k

As superfícies de nível de uma função são análogas às curvas de nível, mas em dimensões superiores. Para uma função de três variáveis f ( x , y , z ) , uma superfície de nível é o conjunto de pontos ( x , y , z ) que resultam em um valor constante da função.

As superfícies de nível são então como as curvas de nível. As curvas de nível estão em R 2 , enquanto as superfícies de nível em R 3 .

Então ao invés de termos uma representação bidimensional da nossa função, teremos o comportamento dessa função em 3 dimensões, para diferentes valores para k .

Passo 2

Vamos então analisar o comportamento da nossa função:

f x , y , z = x 2 - y 2 + z 2 = k

Se k = 0 ,

x 2 + z 2 = y 2

Então temos o gráfico para que possamos visualizar:

Ou seja, temos um cone com vértice na origem com eixo em y .

Se k > 0 ,

x 2 k - y 2 k + z 2 k = 1

Podemos visualizar um exemplo onde k = 3 :

Ou seja, uma família de hiperboloides de uma folha com eixo em y .

Se k < 0

- x 2 k + y 2 k - z 2 k = 1

Temos então uma visualização para k = - 3 :

ou seja, uma família de hiperboloides de duas folhas com eixo em y .

Resposta

Se k = 0 , x 2 + z 2 = y 2 , ou seja, um cone com vértice na origem com eixo em y .

Se k > 0 , x 2 k - y 2 k + z 2 k = 1 , ou seja, uma família de hiperboloides de uma folha com eixo em y .

Se k < 0 , - x 2 k + y 2 k - z 2 k = 1 , ou seja, uma família de hiperboloides de duas folhas com eixo em y .

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