Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.8 - Ex. 14
Utilize os Multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).
Passo 1
Opa, tudo tranquilo? Questãozinha de multiplicador de Lagrange, vamos lá!
A questão nos dá a função genérica e a restrição genérica , e em seguida nos pede para determinar o valor máximo e mínimo da função usando multiplicadores de Lagrange!
Mas como fazemos isso?
O método de Lagrange propõe que: Para determinar os valores máximo e mínimo de uma função sujeita à restrição nós podemos usar a seguinte fórmula
Onde é o nosso multiplicador de Lagrange!
Assim, definindo o gradiente (as derivadas parciais) da função e das restrições, nós podemos procurar por valores de e que satisfaçam essa expressão!
E, ainda, como a nossa função é uma função é genérica, nós vamos solucionar esse problema encontrando uma solução geral para a função!
Passo 2
A expressão que relaciona a função às restrições com os multiplicadores de Lagrange é
Onde
E
Como o gradiente é o conjunto das derivadas parciais, então podemos reescrever isso como
Perceba que, pela “simetria” das variáveis em ambas as funções, as derivadas parciais serão similares para todas as variáveis! De forma que, calculando a derivada parcial genérica de cada função, temos
Onde
De forma que ficamos com o seguinte
Dessa expressão “matricial” obtemos o seguinte sistema de equações
E além disso, considerando a restrição também temos
Agora precisamos analisar esse sistema de equações para obter os pontos de interesse e avaliar quem são o máximo e o mínimo da função!
Passo 3
Temos então o seguinte sistema
E de cara percebemos que , de forma que
Substituindo esse valor na equação da restrição, temos
Ou ainda
De forma que
Mas dessa forma temos
Para
Onde, substituindo na função
E da mesma forma, para
Onde, substituindo na função
Dessa forma, nosso valor máximo ocorre para o ponto
E o valor mínimo ocorre para
Resposta
Máximo
Mínimo