Utilize os Multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).

f(x1, x2, …, xn) = x1 + x2 + … + xn

x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2 = 1

Passo 1

Opa, tudo tranquilo? Questãozinha de multiplicador de Lagrange, vamos lá!

A questão nos dá a função genérica f x 1 ,   x 2 , … , x n = x 1 + x 2 + … + x n e a restrição genérica x 1 2 + x 2 2 + … + x n 2 = 1 , e em seguida nos pede para determinar o valor máximo e mínimo da função usando multiplicadores de Lagrange!

Mas como fazemos isso?

O método de Lagrange propõe que: Para determinar os valores máximo e mínimo de uma função f x 1 ,   x 2 , … , x n sujeita à restrição g x 1 ,   x 2 , … , x n = k nós podemos usar a seguinte fórmula

∇ f x 1 ,   x 2 , … , x n = λ ⋅ ∇ g x 1 ,   x 2 , … , x n

Onde λ é o nosso multiplicador de Lagrange!

Assim, definindo o gradiente (as derivadas parciais) da função e das restrições, nós podemos procurar por valores de x 1 ,   x 2 , … , x n e λ que satisfaçam essa expressão!

E, ainda, como a nossa função é uma função é genérica, nós vamos solucionar esse problema encontrando uma solução geral para a função!

Passo 2

A expressão que relaciona a função às restrições com os multiplicadores de Lagrange é

∇ f = λ ∇ g

Onde f x 1 ,   x 2 , … , x n = x 1 + x 2 + … + x n

E

g x 1 ,   x 2 , … , x n = x 1 2 + x 2 2 + … + x n 2

Como o gradiente é o conjunto das derivadas parciais, então podemos reescrever isso como

( f x 1 , f x 2 , … , f x n )   = λ ( g x 1 , g x 2 , … , g x n )

Perceba que, pela “simetria” das variáveis em ambas as funções, as derivadas parciais serão similares para todas as variáveis! De forma que, calculando a derivada parcial genérica de cada função, temos

∂ f ∂ x i = ∂ ∂ x i x 1 + x 2 + … + x n

f x i = 1

∂ g ∂ x i = ∂ ∂ x i x 1 2 + x 2 2 + … + x n 2

g x i = 2 x i

Onde 1 ≤ i ≤ n

De forma que ficamos com o seguinte

( 1 ,   1 , … ,   1 )   = λ ( 2 x 1 ,   2 x 2 , … ,   2 x n )

Dessa expressão “matricial” obtemos o seguinte sistema de equações

1 =   2 λ x 1

1 =   2 λ x n

E além disso, considerando a restrição também temos

x 1 2 + x 2 2 + … + x n 2 = 1

Agora precisamos analisar esse sistema de equações para obter os pontos de interesse e avaliar quem são o máximo e o mínimo da função!

Passo 3

Temos então o seguinte sistema

1 =   2 λ x i

x 1 2 + x 2 2 + … + x n 2 = 1

E de cara percebemos que λ , x i ≠ 0 , de forma que

x i = 1 2 λ

Substituindo esse valor na equação da restrição, temos

1 2 �� 2 + 1 2 λ 2 + … + 1 2 λ 2 = 1

Ou ainda

n 1 2 λ 2 = 1

De forma que

1 2 λ 2 = 1 n

1 2 λ = ± 1 n

λ = ± n 2

Mas dessa forma temos

Para λ = n 2

x i = 1 n

Onde, substituindo na função

f 1 n , 1 n ,   … , 1 n = 1 n + 1 n + … + 1 n

f 1 n , 1 n ,   … , 1 n = n 1 n

f 1 n , 1 n ,   … , 1 n = n

E da mesma forma, para λ = - n 2

x i = - 1 n

Onde, substituindo na função

f - 1 n , - 1 n ,   … , - 1 n = - 1 n - 1 n - … - 1 n

f - 1 n , - 1 n ,   … , - 1 n = - n 1 n

f - 1 n , - 1 n ,   … , - 1 n = - n

Dessa forma, nosso valor máximo ocorre para o ponto

f 1 n , 1 n ,   … , 1 n = n

E o valor mínimo ocorre para

f - 1 n , - 1 n ,   … , - 1 n = - n

Resposta

Máximo

f 1 n , 1 n ,   … , 1 n = n

Mínimo

f - 1 n , - 1 n ,   … , - 1 n = - n

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