Utilize a Regra do Ponto médio para estimar a integral do exercício 1.

Passo 1

E aí meus queridxs, tudo bom com vocês? Como o exercício cita a questão vamos descrevê-la aqui porque precisaremos da imagem da mesma para resolver essa questão aqui. A questão 1 diz o seguinte: “A figura mostra o mapa de contorno de f no quadrado R = 0,3 × 0,3 . Utilize uma soma de Riemann de nove termos para estimar o valor de ∫ ∫ R f x , y   d A . Tome os pontos de amostragem como os cantos superiores direitos dos quadrados.”

Passo 2

Para estimar essa integral nesse problema vamos utilizar o método do ponto médio que é dado pela seguinte fórmula

∫ ∫ R f x , y   d A ≈ ∑ i = 1 3 ∑ j = 1 3   f x i - , y i - ⋅ ∆ A

Como no exercício 1 , temos m = n = 3 e vamos pegar cada um desses 9 quadrados com área ∆ A = 1 para nossa resolução. Usando o mapa de contorno para estimar o valor de f   no centro de cada quadradinho desses, temos para o somatório

∑ i = 1 3 ∑ j = 1 3   f x i - , y i - ⋅ ∆ A =

∆ A ⋅ f 0.5 , 0.5 + f 0.5 , 1.5 + f 0.5 , 2.5 + f 1.5 , 0.5 + f 1.5 , 1.5 + f 1.5 , 2.5 + f 2.5 , 0.5 + f 2.5 , 1.5 + f 2.5 , 2.5

Do exercício anterior a gente já aprendeu como encontrar os valores estimados para as funções nos pontos indicados (vamos utilizar as linhas rosa do nosso mapa). Sendo assim vamos ter

∫ ∫ R   f x , y   d A ≈ 1 ⋅ 1,2 + 2,5 + 5,0 + 3,2 + 4,5 + 7,1 + 5,2 + 6,5 + 9,0 = 44,2

Pronto, tá resolvido nosso exercício sem muito problema.

Resposta

∫ ∫ R   f x , y   d A = 44,2

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