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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.Revisão - Ex. 2

Utilize a Regra do Ponto médio para estimar a integral do exercício 1.

Passo 1

E aí meus queridxs, tudo bom com vocês? Como o exercício cita a questão vamos descrevê-la aqui porque precisaremos da imagem da mesma para resolver essa questão aqui. A questão 1 diz o seguinte: “A figura mostra o mapa de contorno de f no quadrado R = 0,3 × 0,3 . Utilize uma soma de Riemann de nove termos para estimar o valor de ∫ ∫ R f x , y   d A . Tome os pontos de amostragem como os cantos superiores direitos dos quadrados.”

Passo 2

Para estimar essa integral nesse problema vamos utilizar o método do ponto médio que é dado pela seguinte fórmula

∫ ∫ R f x , y   d A ≈ ∑ i = 1 3 ∑ j = 1 3   f x i - , y i - ⋅ ∆ A

Como no exercício 1 , temos m = n = 3 e vamos pegar cada um desses 9 quadrados com área ∆ A = 1 para nossa resolução. Usando o mapa de contorno para estimar o valor de f   no centro de cada quadradinho desses, temos para o somatório

∑ i = 1 3 ∑ j = 1 3   f x i - , y i - ⋅ ∆ A =

∆ A ⋅ f 0.5 , 0.5 + f 0.5 , 1.5 + f 0.5 , 2.5 + f 1.5 , 0.5 + f 1.5 , 1.5 + f 1.5 , 2.5 + f 2.5 , 0.5 + f 2.5 , 1.5 + f 2.5 , 2.5

Do exercício anterior a gente já aprendeu como encontrar os valores estimados para as funções nos pontos indicados (vamos utilizar as linhas rosa do nosso mapa). Sendo assim vamos ter

∫ ∫ R   f x , y   d A ≈ 1 ⋅ 1,2 + 2,5 + 5,0 + 3,2 + 4,5 + 7,1 + 5,2 + 6,5 + 9,0 = 44,2

Pronto, tá resolvido nosso exercício sem muito problema.

Resposta

∫ ∫ R   f x , y   d A = 44,2

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Use a Propriedade 11 para estimar o valor da integral. ∬ T sen 4 ⁡ x + y d A ,Téot r i n â n g u l ol i m i t a d op e l a sr e t a sy = 0 ,y = 2 xex = 1 . é â
Encontre o valor médio de f na região D .f (x , y) = x y , D é o t r i n â n g u l o c o m v é r t i c e s (0,0) , (1,0) e (1,3) . é â é
Encontre o valor médio de f na região D . f x , y = x sen ⁡ y , Dél i m i t a d op e l a sc u r v a sy = 0 ,y = x 2ex = 1 . é
Use a Propriedade 11 para estimar o valor da integral. ∬ S 4 - x 2 y 2 d A ,S = x , y | x 2 + y 2 ≤ 1 ,x ≥ 0
A figura mostra o mapa de contorno de f no quadrado R = 0,3 × 0,3 . Utilize uma soma de Riemann de nove termos para estimar o valor de ∫ ∫ R f x , yd A . Tome os pontos de amostragem como os cantos su