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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.Revisão - Ex. 7

Calcule a integral iterada.

∫ 0 π ∫ 0 1 ∫ 0 1 - y 2 y ⋅ s e n x   d z   d y   d x

Passo 1

Vamos lá meus amigos, tudo certo?

Temos uma integral tripla para calcular, mas não se assuste, vou te ajudar. Veja a nossa integral:

∫ 0 π ∫ 0 1 ∫ 0 1 - y 2 y ⋅ s e n x   d z   d y   d x

Pode ser resolvida em três etapas, primeiro a integral mais “interna” em função de d z , então o resultado será utilizado na integral intermediária em função de d y e por último d x . Tranquilo né? Vamos ver na prática?

Passo 2

Pois bem, tomemos a integral a ser resolvida que é

∫ 0 π ∫ 0 1 ∫ 0 1 - y 2 y ⋅ s e n x   d z   d y   d x

E vamos resolvendo como se fossem integrais simples de ‘dentro pra fora’. Sendo assim, vamos encontrar

∫ 0 1 - y 2 y ⋅ s e n x   d z = y z ⋅ s e n x 0 1 - y 2 = y ⋅ 1 - y 2 ⋅ s e n ⁡ x

Agora, ficaremos com a seguinte integral dupla a ser resolvida

∫ 0 π ∫ 0 1 y ⋅ 1 - y 2 ⋅ s e n ⁡ x   d y   d x

Passo 3

Procedendo de igual forma com a integral mais interna vamos ter

∫ 0 1 y ⋅ 1 - y 2 ⋅ sin ⁡ x   d y =  

Utilizando uma substituição simples teremos

u = 1 - y 2 → d u d y = - 2 y → d u - 2 = y   d y

Para os limites de integração nós teremos se   y = 0 → u = 1 , agora, se y = 1 → u = 0 . Então nossa integral pode ser reescrita como

∫ 1 0 u ⋅ sin ⁡ x d u - 2

Aplicando os teoremas do cálculo para passar a constante para fora da integral e mudar os limites de integração invertendo o sinal:

= 1 2 ⋅ ∫ 0 1 u ⋅ sin ⁡ x   d u

Fazendo a integral e aplicando os limites de integração:

1 2 ⋅ 2 u 3 2 3 ⋅ sin ⁡ x 0 1 = 1 2 ⋅ 2 3 ⋅ sin ⁡ x = sin ⁡ x 3

Passo 4

Por fim, teremos a integral simples a ser resolvida

∫ 0 π sin ⁡ x 3   d x = - cos ⁡ x 3 0 π = 2 3

Pronto, tá resolvida nossa questão sem muitos problemas.

Resposta

2 3

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