A figura mostra o mapa de contorno de f no quadrado R = 0,3 × 0,3 . Utilize uma soma de Riemann de nove termos para estimar o valor de ∫ ∫ R f x , y   d A . Tome os pontos de amostragem como os cantos superiores direitos dos quadrados.

Passo 1

E aí meus queridxs, tudo bom? Se liguem só que essa questão é bem rapidinha, porém, precisa de bastante atenção para conseguir entender toda a resolução. Pois bem, a gente consegue ver no mapa de contorno quadrado que ele está dividido em 9 pequenos outros quadrados, cada um com área ∆ A = 1   u . a . Então, nós podemos aproximar nossa integral

∫ ∫ R f x , y   d A

Utilizando a soma de Riemann com m = n = 3 e a amostra aponta os cantos superiores direitos de cada quadrado, sendo assim teremos

∫ ∫ R f x , y   d A ≈ ∑ i = 1 3 ∑ j = 1 3   f x i , y i ⋅ ∆ A

Mas o que é essa tal soma de Riemann?

Um exemplo de uma aplicação de uma soma de Riemmen é o cálculo de uma área pela soma várias figuras que juntas fornecerão uma estimativa para o valor dessa área.

Passo 2

Nosso somatório pode ser, então, escrito como

∑ i = 1 3 ∑ j = 1 3   f x i , y i ⋅ ∆ A =  

∆ A ⋅ f 1,1 + f 1,2 + f 1,3 + f 2,1 + f 2,2 + f 2,3 + f 3,1 + f 3,2 + f 3,3

Beleza, nosso problema está quase resolvido só precisamos estimar o valor da função para esses pontos, mas como vamos fazer isso?

Calma pequeno gafanhoto que aqui a gente dá um jeito. Veja que ∆ A = 1 pois cada quadrado menor possui 1 de área. Veja o ponto f 1,1 :

Sua intersecção está entra a linha 2 e a linha 3 (rosa). De modo que uma estimativa razoável para seu valor é 2,7 . Siga o mesmo procedimento para os outros valores e encontrará:

∫ ∫ R f x , y ≈ 1 ⋅ 2,7 + 4,7 + 8,0 + 4,7 + 6,7 + 10,0 + 6,7 + 8,6 + 11,9

∫ ∫ R f x , y ≈ 64,0

Pronto, tá resolvido nosso exercício sem muitos problemas.

Resposta

∫ ∫ R f x , y ≈ 64,0

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