Se f(x) = arctan x prove que

f(x) + f(y) = f((x + y) / (1 - xy))

Passo 1

Vamos lá, galera! Sabemos que

f x = arctan ⁡ x

f y = arctan ⁡ y

f x + y 1 - x y = arctan ⁡ x + y 1 - x y

Portanto,

x = tan ⁡ f x

y = tan ⁡ f y

x + y 1 - x y = tan ⁡ f x + y 1 - x y

Passo 2

Usando a fórmula trigonométrica tan ⁡ a + b = tan ⁡ a + tan ⁡ b 1 - tan ⁡ a tan ⁡ b , temos:

tan ⁡ f x + f y = tan ⁡ f x + tan ⁡ f y 1 - tan ⁡ f x tan ⁡ f ( y )

tan ⁡ f x + f y = x + y 1 - x y

Logo, f x + f y = arctan ⁡ x + y 1 - x y = f x + y 1 - x y , conforme que queríamos demonstrar! 😊

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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