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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.Exercícios práticos - Ex. 70

Utilize séries para aproximar os valores das integrais nos Exercícios 69-72 com um erro de magnitude menor que 10 - 8 . (A seção de respostas fornece os valores das integrais arredondados para 10 casas decimais.)

70. ∫ 0 1 x sen ⁡ x 3 d x

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Dado que a integral pode ser escrita como

∫ 0 1 x sen ⁡ x 3 d x = ∫ 0 1 x x 3 - x 9 3 ! + x 15 5 ! - x 21 7 ! + x 27 9 ! - …   d x

Desenvolvendo os termos, nós temos que

∫ 0 1 x sen ⁡ x 3 d x = ∫ 0 1 x 4 - x 10 3 ! + x 1 6 5 ! - x 2 2 7 ! + x 2 8 9 ! - …   d x

Com isso, nós temos que

∫ 0 1 x sen ⁡ x 3 d x = x 5 5 - x 11 11 ∙ 3 ! + x 1 7 1 7 ∙ 5 ! - x 23 23 ∙ 7 ! + x 29 29 ∙ 9 ! 0 1

Portanto,

∫ 0 1 x sen ⁡ x 3 d x = 1 5 - 1 11 ∙ 3 ! + 1 17 ∙ 5 ! - 1 23 ∙ 7 ! + 1 29 ∙ 9 ! + …

Claramente, a série do lado direito é uma série alternada.

Passo 2

Do Teorema de Estimação de Séries Alternadas sabemos que para a série ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 u n se nós aproximamos por S n - 1 então, podemos considerar um erro

L - S n < u n  

Onde

S n = u 1 - u 2 + … + - 1 n u n - 1

Se u n < 10 - 8 , então, S n - 1 nos dá a aproximação necessária da série ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 u n .

Obs: Isso significa que, para uma série alternada, o erro é menor que o primeiro termo negligenciado, então vamos continuar calculando até que os termos fiquem menores que 10 - 8 . Claramente o enésimo termo da série da mão direita é

- 1 n - 1 6 n - 1 ∙ 2 n - 1 !

Agora temos que encontrar o menor valor de n tal que

1 6 n - 1 ∙ 2 n - 1 ! < 10 - 8 → n ≥ 6

O cálculo direto indica que temos que adicionar primeiro n - 1 = 5 termos para garantir que o erro de magnitude seja menor que 10 - 8 . Portanto, nós temos que

∫ 0 1 x sen ⁡ x 3 d x ≈ 1 5 - 1 11 ∙ 3 ! + 1 17 ∙ 5 ! - 1 23 ∙ 7 ! + 1 29 ∙ 9 ! + …

Com isso, nós temos que

∫ 0 1 x sen ⁡ x 3 d x ≈ 0 , 185330149

Com um erro de magnitude menor que 10 - 8 .

Resposta

∫ 0 1 x sen ⁡ x 3 d x ≈ 0,185330149

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Nos Exercícios 15-18, utilize séries para estimar os valores das integrais com um erro de magnitude menor que 1 0 - 3 . (A seção de respostas apresenta os valores das integrais arredondados para cinco
Estime o erro se c o s t^2 é aproximado por 1 - (t^4)/(2) + (t^8)/(4 !) na integral int_0^1 c o s t^2 d t .
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Nos Exercícios 25-28, encontre o polinômio que irá aproximar F ( x ) ao longo do intervalo dado com um erro de magnitude menor que 1 0 - 3 .25. F ( x ) = ∫ 0 x s e nt 2 d t ,[ 0,1 ]