Use séries para calcular o limite.

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x - x + 1 6 x 3 x 5

Passo 1

Fala meu caro colega, veja que o enunciado da questão pede para utilizar séries para calcular um determinado limite dado.Ao analisar o limite podemos perceber que há uma função trigonométrica, por isso vou te passar uma informação importante. Lembre-se que há séries (séries Mclaurin de sen ⁡ x   e cos ⁡ x   ) que podem ser utilizadas para substituir algumas funções trigonométricas, e que isso já está definido na bibliografia.

Então buscando na bibliografia a série para o sen ⁡ x   temos o seguinte:

sen ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 2 n + 1 ! = x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - x 7 7 ! + …

Substituindo no limite

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x - x + 1 6 x 3 x 5 = lim x → 0 ⁡ x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - x 7 7 ! + … - x + 1 6 x 3 x 5

Passo 2

Simplificando:

lim x → 0 ⁡ x - x 3 6 + x 5 5 ! - x 7 7 ! + … - x + 1 6 x 3 x 5

Temos que os dois primeiros termos da série se cancelam com o polinômio fora dos parênteses, então nosso limite é

lim x → 0 ⁡ x 5 5 ! - x 7 7 ! + … x 5

Colocando x 5 em evidencia no numerador

= lim x → 0 ⁡ x 5 1 5 ! - x 2 7 ! + … x 5 = lim x → 0 ⁡ 1 5 ! - x 2 7 ! + …

Agora podemos aplicar x → 0

= 1 5 !

Resposta

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x - x + 1 6 x 3 x 5 = 1 5 !

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