Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.9 - Ex. 7

Utilize a substituição (como no Exemplo 4) para encontrar a série de Taylor em x = 0 das funções nos Exercícios 1-10.

ln ⁡ 1 + x 2  

Passo 1

Iai galerinha, espero que estejam todos bem! Vamos lá pra mais uma questão de Série de Taylor!

O primeiro ponto que devemos tratar é escrever os termos da série conhecida que é trazida no enunciado.

O que nos é facilitado porque assim como o enunciado disse, deriva de uma série conhecida! Dessa forma, temos os seguintes termos na literatura:

ln ⁡ ( 1 + x ) = x - x 2 2 + x 3 3 - …

E assim vai... Podemos então escrever a função da série acima como:

ln ⁡ ( 1 + x ) = ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 x n n

Passo 2

Agora que já sabemos a estrutura da série, podemos adaptar essa estrutura à série trazida no enunciado. Dessa forma, temos:

ln ⁡ 1 + x 2   = x 2 - x 4 2 + x 6 3 - x 8 4 + …

Ou seja, a série de Taylor pra esse caso vai ser igual a:

ln ⁡ 1 + x 2   = ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 ( x 2 ) n n

Simplificando matematicamente, temos:

∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 x 2 n n

Resposta

∑ n = 0 ∞ - 1 n - 1 x 2 n n   = x 2 - x 4 2 + x 6 3 - x 8 4 + …

Curtiram?! Até a próxima questão, galera!

Exercícios de Livros Relacionados

Explique como o teorema do valor médio (Seção 4.2, Teorema 4) é um caso especial do teorema de Taylor.
Utilize a substituição (como no Exemplo 4) para encontrar a série de Taylor em x = 0 das funções nos Exercícios 1-10. 1 2 - x
Utilize a equação f x = f a + f 1 a x - a + f ' ' c 2 2 x - a 2 Para estabelecer o teste a seguir.Seja f com primeira e segunda derivadas contínuas e suponha que f ' a = 0 . Então f tem um máximo loca
A aproximação e x = 1 + x + x 2 2 é utilizada quando x é pequeno. Utilize o teorema da estimativa do resto para estimar o erro quando x0,1 .