Utilize a substituição (como no Exemplo 4) para encontrar a série de Taylor em x = 0 das funções nos Exercícios 1-10.

ln(1 + x^2)

Passo 1

Iai galerinha, espero que estejam todos bem! Vamos lá pra mais uma questão de Série de Taylor!

O primeiro ponto que devemos tratar é escrever os termos da série conhecida que é trazida no enunciado.

O que nos é facilitado porque assim como o enunciado disse, deriva de uma série conhecida! Dessa forma, temos os seguintes termos na literatura:

ln ⁡ ( 1 + x ) = x - x 2 2 + x 3 3 - …

E assim vai... Podemos então escrever a função da série acima como:

ln ⁡ ( 1 + x ) = ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 x n n

Passo 2

Agora que já sabemos a estrutura da série, podemos adaptar essa estrutura à série trazida no enunciado. Dessa forma, temos:

ln ⁡ 1 + x 2   = x 2 - x 4 2 + x 6 3 - x 8 4 + …

Ou seja, a série de Taylor pra esse caso vai ser igual a:

ln ⁡ 1 + x 2   = ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 ( x 2 ) n n

Simplificando matematicamente, temos:

∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 x 2 n n

Resposta

∑ n = 0 ∞ - 1 n - 1 x 2 n n   = x 2 - x 4 2 + x 6 3 - x 8 4 + …

Curtiram?! Até a próxima questão, galera!

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