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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.9 - Ex. 47

Utilize a equação

f x = f a + f 1 a x - a + f ' ' c 2 2 x - a 2

Para estabelecer o teste a seguir.

Seja f com primeira e segunda derivadas contínuas e suponha que f ' a = 0 . Então

  1. f tem um máximo local em a se f ' ' ≤ 0 em um intervalo cujo interior contenha a;
  2. f tem um mínimo local em a se f ' ' ≤ 0 em um intervalo cujo interior contenha a.

Passo 1

Falaaa meus queridos! Tudo bom com vocês? Eu espero que sim! Vamos lá detonar mais uma questãozinha!

  1. Se f ' ' ≤ 0 , f ' a = 0 e x = a , que para o caso, é interior ao intervalo I.

    2. Portanto, temos:

    f x - f a = f ' ' c 2 2 x - a 2

    Então, temos que:

    f x - f a ≤ 0   p o r   t o d o   I

    Logo:

    f x ≤ f a   p o r   t o d o   I

    Por fim, f atinge seu máximo quando x = a .

    Passo 2

  2. Por jeito similar, temos que:

f x - f a = f ' ' c 2 2 x - a 2

Então, temos que:

f x - f a ≤ 0   p o r   t o d o   I

Por fim, f atinge seu mínimo quando x = a .

Resposta

  1. f tem um máximo local em a se f ' ' ≤ 0 em um intervalo cujo interior contenha a;
  2. f tem um mínimo local em a se f ' ' ≤ 0 em um intervalo cujo interior contenha a.

Valeu galera! Nos vemos na próxima questão!

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