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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 7.6 - Ex. 15

Utilize a tabela de integrais no fim do livro para calcular a integral

∫ e 2 x ⁡ a r c t g e x d x

Passo 1

Bom galera, nesse exercício iremos utilizar a tabela de integrais presente no final do livro para resolver a integral. Assim, não utilizaremos diretamente as técnicas de integração conhecidas, pois na tabela temos a relação conhecida para resolver a integral da questão.

Passo 2

Primeiramente, iremos aplicar a seguinte substituição

u = e x ; u 2 = e 2 x ; d u = e x d x

∫ e 2 x ⁡ a r c t g e x d x = ∫ u 2 ⁡ a r c t g u d u u

Passo 3

Utilizando a entrada 9 2 da tabela, podemos resolver a integral

∫ u ⁡ a r c t g u d u = u 2 + 1 2 a r c t g u - u 2 + C

Voltando para x , temos

u 2 + 1 2 a r c t g u - u 2 + C = e 2 x + 1 2 a r c t g e x - e x 2 + C

Resposta

∫ e 2 x ⁡ a r c t g e x d x = e 2 x + 1 2 a r c t g e x - e x 2 + C

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