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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.1 - Ex. 53

Deduza a fórmula (3) .

int e^(a u) sen n u d u = (e^(a u))/(a^2 + n^2) (a sen n u - n cos n u) + C

Passo 1

Vamos integrar utilizando o método da integração por partes. Chamando nosssa integral de I , vamos escolher w = sen n u e d v = e^(a u) d u . Usamos v e w ao invés do usual u e v pois o enunciado já usa como variável a letra u . Então:

d w = n cos n u ; v = (e^(a u))/(a)

A nosssa integral fica, usando a fórmula da integração por partes:

int w d v = w v - int v d w => I = (e^(a u))/(a) sen n u - int (n e^(a u))/(a) cos n u d u

Passo 2

Agora vamos integrar (n e^(a u))/(a) cos n u também por partes. Escolhemos w = cos n u e d v = (n e^(a u))/(a) , e agora temos:

d w = - n sen n u ; v = (n e^(a u))/(a^2)

Então temos agora:

I = (e^(a u))/(a) sen n u - int (n e^(a u))/(a) cos n u d u = (e^(a u))/(a) sen n u - (w v - int v d w)

=> I = (e^(a u))/(a) sen n u - (n e^(a u))/(a^2) cos n u + int (n e^(a u))/(a^2) (- n sen n u) d u

=> I = (e^(a u))/(a) sen n u - (e^(a u))/(a^2) cos n u - (n^2)/(a^2) int e^(a u) sen n u d u

Perceba que a nossa integral I apareceu novamente do outro lado. Passando então pro lado esquerdo:

(1 + (n^2)/(a^2)) I = (e^(a u))/(a) sen n u - (n e^(a u))/(a^2) cos n u => (a^2 + n^2)/(a^2) I = (e^(a u))/(a^2) (a sen n u - n cos n u)

=> I = (e^(a u))/(a^2 + n^2) (a sen n u - n cos n u) + C

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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