Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.6 - Ex. 35
Que valor de faz ter:
um mínimo local em ?
um ponto de inflexão quando ?
Passo 1
Para acharmos o valor de mínimo ou máximo, temos que achar os pontos críticos e usar o teste da segunda derivada.
Primeiro fazemos:
Escrevendo a fração como potência:
Derivando ,
Fazendo isso igual a
Passo 2
Aplicando o teste da segunda derivada, precimos da segunda derivada. Se ela for positiva temos um valor de mínimo, se ela for negativa temos um valor de máximo loca.
Derivando:
Substituindo o valor de que achamos:
Então na verdade essa função sempre tem mínimo local, independente de . Mas ele quer que seja em , então basta olharmos agora que o ponto crítico seja
Passo 3
Para o ponto de inflexão, vamos olhar a segunda derivada:
Ele quer que seja ponto de inflexão, logo devemos ter a segunda derivada em sendo . E isso vai ser o suficiente, porque essa expressão vai mudar de sinal quando ela zerar por conta daquele .
Fazendo
Vamos ter:
Resposta
Letra
Letra