Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.6 - Ex. 35

Que valor de faz ter:

um mínimo local em ?

um ponto de inflexão quando ?

Passo 1

Para acharmos o valor de mínimo ou máximo, temos que achar os pontos críticos e usar o teste da segunda derivada.

Primeiro fazemos:

Escrevendo a fração como potência:

Derivando ,

Fazendo isso igual a

Passo 2

Aplicando o teste da segunda derivada, precimos da segunda derivada. Se ela for positiva temos um valor de mínimo, se ela for negativa temos um valor de máximo loca.

Derivando:

Substituindo o valor de que achamos:

Então na verdade essa função sempre tem mínimo local, independente de . Mas ele quer que seja em , então basta olharmos agora que o ponto crítico seja

Passo 3

Para o ponto de inflexão, vamos olhar a segunda derivada:

Ele quer que seja ponto de inflexão, logo devemos ter a segunda derivada em sendo . E isso vai ser o suficiente, porque essa expressão vai mudar de sinal quando ela zerar por conta daquele .