Um retânmgulo tem a sua base no eixo x e seus dois vértices superiores na parábola y = 12 - x 2 . Qual é a maior área que esse retângulo pode ter, e quais são as suas dimensões?

a área máxima é 32 .um retângulo 4 por 8

Enunciado

Vamos olhar como é a figura desse retângulo na parábola:

Se pegarmos as coordenadas daquele ponto sendo e

Vamos ter:

Assim, nosso retângulo tem dimensões sendo:

E a área vai ficar:

Com o indo de até a raiz de , que é:

Para achar a maior área possível, temos que achar o ponto de máximo de .

Para isso, temos que ver se existe algum extremo no intervalo de e comparar com os extremos do intervalo.

Vamos começar achando a derivada:

Ela vai ser em:

Como o nosso vai de até , vamos pegar só o positivo.

Achamos o nosso ponto crítico. Vamos usar o teste da segunda derivada para conferir se ele é máximo ou mínimo ou nada rs

Vamos ver o sinal da segunda derivada em

Como a segunda derivada deu negativo, é um ponto de máximo.

Vamos comparar agora os valores de em

Então vamos ter que a área máxima é .

Vamos achar as dimensões do retângulo.

Fazendo

Logo é um retângulo por

a área máxima é .

um retângulo por