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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.6 - Ex. 4

Um retânmgulo tem a sua base no eixo x e seus dois vértices superiores na parábola y = 12 - x 2 . Qual é a maior área que esse retângulo pode ter, e quais são as suas dimensões?

Passo 1

Vamos olhar como é a figura desse retângulo na parábola:

Se pegarmos as coordenadas daquele ponto A sendo x e y

Vamos ter:

A = x , f x = x , 12 - x 2

Assim, nosso retângulo tem dimensões sendo:

b = 2 x

h = y = f x

E a área vai ficar:

S x = b ∙ h = 2 x 12 - x 2

S x = 24 x - 2 x 3

Com o x indo de 0 até a raiz de 12 - x 2 , que é:

12 - x 2 = 0

x 2 = 12

x = ± 12

x = ± 2 3

Passo 2

Para achar a maior área possível, temos que achar o ponto de máximo de S x .

Para isso, temos que ver se existe algum extremo no intervalo de x e comparar com os extremos do intervalo.

Vamos começar achando a derivada:

S ' x = 24 - 6 x 2

Ela vai ser 0 em:

24 - 6 x 2 = 0

6 x 2 = 24

x 2 = 4

x = ± 2

Como o nosso x vai de 0 até 2 3 , vamos pegar só o positivo.

Passo 3

Achamos o nosso ponto crítico. Vamos usar o teste da segunda derivada para conferir se ele é máximo ou mínimo ou nada rs

S ' ' x = - 12 x

Vamos ver o sinal da segunda derivada em 2

S ' ' 2 = - 12 2 = - 24

Como a segunda derivada deu negativo, x = 2 é um ponto de máximo.

Passo 4

Vamos comparar agora os valores de S x em 2,0 , 2 3

S 2 = 24 2 - 2 2 3 = 48 - 16 = 32

S 0 = 24 0 - 2 0 3 = 0

S 2 3 = 24 2 3 - 2 2 3 3 = 48 3 - 48 3 = 0

Então vamos ter que a área máxima é 32 .

Vamos achar as dimensões do retângulo.

b = 2 x

h = y = - x + 1

Fazendo x = 2

b = 2 2 = 4

h = 12 - 2 2 = 12 - 4 = 8

Logo é um retângulo 2 por 8

Resposta

a área máxima é 32 .

um retângulo 4 por 8

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