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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.6 - Ex. 61

Demonstre que se a , b , c e d são interios positivos, então:

a 2 + 1 b 2 + 1 c 2 + 1 d 2 + 1 a b c d ≥ 16

Passo 1

Vamos tentar expandir essa conta ai para fica um ponto mais claro o que temos que fazer:

a 2 + 1 b 2 + 1 c 2 + 1 d 2 + 1 a b c d ≥ 16

Multiplicando por a b c d

a 2 + 1 b 2 + 1 c 2 + 1 d 2 + 1 ≥ 16 a b c d

Do lado esquerdo temos o produto de 4 termos. Vamos tentar escrever 16 a b c d como produto de 4 termos bonitinhos também da seguinte forma:

16 a b c d = 2 a 2 b 2 c 2 d

Entao temos que mostrar que:

a 2 + 1 b 2 + 1 c 2 + 1 d 2 + 1 ≥ 2 a 2 b 2 c 2 d

Passo 2

Agora o pulo do gato, se repararmos com calma, temos a 2 + 1 e 2 a , que juntos formam um trinômio quadrado perfeito.

Entao, vamos pegar 4 inequações com esse caras

a 2 + 1 ≥ 2 a

b 2 + 1 ≥ 2 b

c 2 + 1 ≥ 2 c

d 2 + 1 ≥ 2 d

Todas essas inequação são verdadeiras, porque

x - 1 2 ≥ 0

Já que todo numero ao quadrado é positivo, então

x 2 - 2 x + 1 ≥ 0

x 2 + 1 ≥ 2 x

Se trocarmos o x por a , b , c , d vamos encontrar aquelas inequações.

Multiplicando as inequações, vamos chegar em:

a 2 + 1 b 2 + 1 c 2 + 1 d 2 + 1 ≥ 2 a 2 b 2 c 2 d

OU seja, fazendo o caminho de antes:

a 2 + 1 b 2 + 1 c 2 + 1 d 2 + 1 ≥ 16 a b c d

Dividindo por a b c d , que é positivo:

a 2 + 1 b 2 + 1 c 2 + 1 d 2 + 1 a b c d ≥ 16

Então esta demostrado o que ele queria

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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