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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.6 - Ex. 3

A figura mostra um retângulo inscrito em um triângulo isósceles cuja hiponetuna tem 2 unidades de comprimento:

a ) Expresse a ordenada y de P em termos de x

b ) Expreswse a área do retângulo em termos de x

c ) Qual a maior área possível para o retângulo? Quais são as suas dimensões?

Passo 1

Letra a

A nossa figura é essa:

Vamos começar achando a coordenada de B .

Ele disse que esse triângulo é isósceles e retângulo, então o ângulo em A é 45 °

Como B está no eixo y , vamos ter que o triângulo B O A é retângulo em O , que é a origem do eixo cartesiano.

Assim, o ângulo em B desse triângulo vai ser 45 ° também, fazendo B O A ser isolsceles e

B O = O A = 1

Logo as coordenada de B será:

0,1

Passo 2

As coordenadas de P são aquelas da reta que passa por B e por A .

Sua equação vai ser

y = a x + b

Passando em 0,1 e 1,0

Vamos ter:

1 = a 0 + b

0 = a 1 + b

Terminando com:

b = 1

a + b = 0 → a = - b → a = - 1

A reta fica:

y = - x + 1

Então as coordenadas de P são:

P = x , - x + 1

Passo 3

Letra b

A área vai ser:

A = b ∙ h

Onde a base do retângulo vale 2 x e a altura y

A = 2 x ∙ y

A x = 2 x - x + 1

A x = - 2 x 2 + 2 x

Com x indo de 0 até 1 .

Passo 4

Letra c

Para achar a maior área possível, temos que achar o ponto de máximo de A x .

Para isso, temos que ver se existe algum extremo no intervalo de x e comparar com os extremos do intervalo.

Vamos começar achando a derivada:

A ' x = - 4 x + 2

Ela vai ser 0 em:

- 4 x + 2 = 0 → 4 x = 2 → x = 1 2

Passo 5

Achamos o nosso ponto crítico. Vamos usar o teste da segunda derivada para conferir se ele é máximo ou mínimo ou nada rs

A ' ' x = - 4

Como a segunda derivada deu negativo, x = 1 2 é um ponto de máximo.

Passo 6

Vamos comparar agora os valores de A x em ½ , 0,1

A 1 2 = - 2 1 2 2 + 2 1 2 = - 2 4 + 2 2 = - 1 2 + 1 = 1 2

A 0 = - 2 0 2 + 2 0 = 0

A 1 = - 2 1 2 + 2 1 = - 2 + 2 = 0

Então vamos ter que a área máxima é 1 2 .

Vamos achar as dimensões do retângulo.

b = 2 x

h = y = - x + 1

Fazendo x = 1 2

b = 2 1 2 = 1

h = - 1 2 + 1 = 1 2

Logo é um retângulo 1 por 1 2

Resposta

Letra a

P = x , - x + 1

Letra b

A x = - 2 x 2 + 2 x

Letra c

b = 1

h = 1 2

A m á x = 1 2

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