Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento e esboce o gráfico (calcule para isto todos os limites necessários).

f(x) = x^3 + 2*x^2 + x + 1

Passo 1

Primeiro vamos ter que achar f ' x e analisar seu sinal, vamos então ver as regras que vamos precisar para calcular as derivadas, vamos usar a regra da função constante e do polinômio:

c ' = 0

x n ' = n x n - 1

Vamos então aplicar:

f ' x = x 3 + 2 x 2 + x + 1 ' = 3 x 3 - 1 + 2 ⋅ 2 x 2 - 1 + x 1 - 1 + 0 = 3 x 2 + 4 x + x 0 = 3 x 2 + 4 x + 1

Passo 2

Agora vamos analisar o sinal de f ' x igualando a zero:

3 x 2 + 4 x + 1 = 0 → x = - 1 3 ou x = - 1

Assim:

f ' x = 3 x 2 + 4 x + 1 = x + 1 3 x + 1

Vamos analisar o sinal das duas expressões:

Para x temos:

A expressão assume valores negativos quando x < - 1 3 e assume valores positivos quando x > - 1 3 .

Para x + 1 temos:

Aqui a expressão assume valores negativos quando x < - 1 e assume valores positivos quando x > - 1 .

Passo 3

Vamos lá, agora vamos analisar as duas imagens que achamos no passo anterior:

Temos que f ' x > 0 em:

- ∞ , - 1 e - 1 3 , + ∞

E f ' x < 0 em:

- 1 , - 1 3

Como f é contínua temos que:

f é estritamente crescente em - ∞ , - 1 e - 1 3 , + ∞

f é estritamente decrescente em - 1 , - 1 3

Passo 4

Para esboçar o gráfico vamos calcular os limites de f para x → + ∞ e x → - ∞ :

lim x → + ∞ ⁡ x 3 + 2 x 2 + x + 1 = + ∞

lim x → - ∞ ⁡ x 3 + 2 x 2 + x + 1 = - ∞

Pronto, agora podemos esboçar o gráfico, ficando desse jeito:

Resposta

f é estritamente crescente em - ∞ , - 1 e - 1 3 , + ∞

f é estritamente decrescente em - 1 , - 1 3

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