Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 9.2 - Ex. 1l

Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento e esboce o gráfico (calcule para isto todos os limites necessários).

f x = e 2 x - e x

Passo 1

Primeiro vamos ter que achar x ' e analisar seu sinal, vamos então ver as regras que vamos precisar para calcular as derivadas, vamos usar a regra do polinômio e da função exponencial:

x n ' = n x n - 1

e f x ' = e f x ⋅ f ( x ) '

Vamos então aplicar:

y ' = e 2 x - e x ' = e 2 x 2 x ' - e x = e 2 x 2 x 1 - 1 - e x = e 2 x ⋅ 2 - e x = 2 e 2 x - e x = 2 e x + x - e x = 2 e x ⋅ e x - e x = e x 2 e x - 1

Passo 2

Agora vamos analisar o sinal de y ' :

2 e x - 1 = 0 → x = ln ⁡ 1 2

Assim:

Temos que y ' > 0 em:

ln ⁡ 1 2 , + ∞

E em y ' < 0 :

- ∞ , ln ⁡ 1 2

Assim:

y é estritamente crescente em ln ⁡ 1 2 , + ∞

y é estritamente decrescente em - ∞ , ln ⁡ 1 2

Passo 3

Para esboçar o gráfico vamos calcular os limites de y para x → + ∞ e x → - ∞ :

lim x → + ∞ ⁡ e 2 x - e x = + ∞

lim x → - ∞ ⁡ e 2 x - e x = 0

Pronto, agora podemos esboçar o gráfico, ficando desse jeito:

Resposta

y é estritamente crescente em ln ⁡ 1 2 , + ∞

y é estritamente decrescente em - ∞ , ln ⁡ 1 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre: (a) os intervalos nos quais f é crescente, (b) os intervalos nos quais f é decrescente, (c) os intervalos abertos nos quais f é côncava para cima, (d) os intervalos abertos nos quais f é côn
Encontre: (a) os intervalos nos quais f é crescente, (b) os intervalos nos quais f é decrescente, (c) os intervalos abertos nos quais f é côncava para cima, (d) os intervalos abertos nos quais f é côn
Encontre: (a) os intervalos nos quais f é crescente, (b) os intervalos nos quais f é decrescente, (c) os intervalos abertos nos quais f é côncava para cima, (d) os intervalos abertos nos quais f é côn
Encontre: (a) os intervalos nos quais f é crescente, (b) os intervalos nos quais f é decrescente, (c) os intervalos abertos nos quais f é côncava para cima, (d) os intervalos abertos nos quais f é côn
Encontre: (a) os intervalos nos quais f é crescente, (b) os intervalos nos quais f é decrescente, (c) os intervalos abertos nos quais f é côncava para cima, (d) os intervalos abertos nos quais f é côn