∫ 0 ∞   x p l n ⁡ ( x ) d x

Para quais valores de p a integral converge? Qual é o valor da integral quando ela converge ? Trace o gráfico do integrando para vários valores de p .

Passo 1

Incialmente analisaremos a integral impropria. Para isso separaremos nosso intervalo de integração de maneira conveniente em dois intervalos, ou seja,

∫ 0 ∞   x p l n ⁡ ( x ) d x = ∫ 0 e     x p l n ⁡ ( x ) d x + ∫ e ∞     x p l n ⁡ ( x ) d x

Essa divisão foi escolhida dessa forma, pois nos exercícios 79 e 80, já analisamos os valores que p   deve assumir em que cada integral para que ela seja convergente.

Passo 2

No exercício 79 analisamos para quais valores de p a integral

∫ 0 e     x p l n ⁡ ( x ) d x

Era convergente. Sendo assim, percebermos que quando p > - 1 a integral convergia no intervalo de 0 ≤ x ≤ e .

Já, no exercício 80 analisamos para quais valores de p a integral

∫ e ∞     x p l n ⁡ ( x ) d x

Era convergente. Sendo assim, percebermos que quando p < - 1 a integral convergia no intervalo de e ≤ x ≤ ∞ .

Passo 3

Perceba que na integral que queremos analisar, precisamos estabelecer quais valores p fazem com que aquelas duas integrais sejam convergentes simultaneamente. Porém, ao analisarmos cada uma vimos que para o intervalo de 0 ≤ x ≤ e   , p > - 1   , já no intervalo 0 ≤ x ≤ e ,   p < - 1 , isso significa que não como estabelecermos valores para p de maneira que as duas integrais sejam convergentes ao mesmo tempo.

Logo,

∫ 0 ∞   x p l n ⁡ ( x ) d x

Diverge independentemente do valor que p   assumir.

Plotando o gráfico de f ( x ) ,

Para x = - 10

Para x = - 7 2

Para x = 6

Para x = 3 4

Resposta

∫ 0 ∞   x p l n ⁡ ( x ) d x

Diverge independentemente do valor que p   assumir.

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