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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.7 - Ex. 79

∫ 0 e   x p l n ⁡ ( x ) d x

Para quais valores de p a integral converge? Qual é o valor da integral quando ela converge ? Trace o gráfico do integrando para vários valores de p .

Passo 1

Incialmente calcularemos a integral impropria, para isso chamaremos b = 0 , pois sabemos que em x = 0 o l n ⁡ ( x ) não está definido. Sendo assim,

∫ 0 e   x p l n ⁡ ( x ) d x = l i m b → ∞ ∫ b e   x p l n ⁡ ( x ) d x

Utilizando integração por partes, suponha

u = ln ⁡ x ⇒ d u = 1 x d x ,

d v = x p ⇒ v = x p + 1 p + 1

Sendo assim,

∫ b e u   d v = ln ⁡ x x p + 1 p + 1 ​ b e - ∫ b e x p + 1 p + 1 . 1 x d x = ln ⁡ x x p + 1 p + 1 ​ b e -   ∫ b e x p p + 1 d x = ln ⁡ x x p + 1 p + 1 ​ b e -   1 p + 1 ∫ b e x p   d x = ln ⁡ x x p + 1 p + 1 ​ b e - 1 p + 1 x p + 1 p + 1 ​ b e

= ln ⁡ x x p + 1 p + 1 ​ b e - 1 p + 1 x p + 1 p + 1 ​ b e = ln ⁡ x x p + 1 p + 1 ​ b e - x p + 1 p + 1 2 ​ b e

Logo,

l i m b → 0 ∫ b e   x p l n ⁡ ( x ) d x = l i m b → 0 ln ⁡ x x p + 1 p + 1 ​ b e - x p + 1 p + 1 2 ​ b e = l i m b → 0 ln ⁡ e ( e ) p + 1 p + 1 - ln ⁡ b ( b ) p + 1 p + 1 - l i m b → 0 ( e ) p + 1 p + 1 2 - ( b ) p + 1 p + 1 2

= l i m b → 0 ln ⁡ e e p + 1 p + 1 - lim b → 0 ln ⁡ b b p + 1 p + 1 - lim b → 0 ⁡ ( e ) p + 1 p + 1 2 - l i m b → 0 ( b ) p + 1 p + 1 2

Passo 2

Precisamos agora, analisar os valores que p   deve assumir, para que a integral seja convergente.

Analisando o limite que está dando problema teremos

l i m b → 0 ln ⁡ b ( b ) p + 1 p + 1 = 1 p + 1 l i m b → 0 ln ⁡ b b p + 1

Perceba que quando p > - 1 teremos que o limite será da forma:

l i m b → 0 ln ⁡ b b p + 1 = lim b → 0 ln ⁡ b b p + 1 = ∞ . 0

Reescrevendo a função,

ln ⁡ b b p + 1 = ln ⁡ b 1 b p + 1

l i m b → 0 ln ⁡ b b p + 1 = l i m b → 0 ln ⁡ b 1 b p + 1 = ln ⁡ 0 1 ( 0 ) p + 1 = ∞ 1 0 = ∞ ∞

Sendo assim podemos utilizar L’Hospital, ou seja,

1 b ( p + 1 ) x p b p + 1 2 = 1 b ( p + 1 ) x p b 2 p + 2 = 1 b ( p + 1 ) b p + 2 = 1 b ( b ) p + 2 ( p + 1 ) = ( b ) p + 1 ( p + 1 )

Daí,

l i m b → 0 b p + 1 ( p + 1 ) = ( 0 ) p + 1 ( p + 1 ) = 0 ( p + 1 ) = 0

Logo,

l i m b → 0 ln ⁡ b b p + 1 = 0

Portanto, é convergente para p > 1

l i m b → 0 ∫ b e   x p l n ⁡ ( x ) d x = l i m b → 0 ln ⁡ e e p + 1 p + 1 - lim b → 0 ln ⁡ b b p + 1 p + 1 - lim b → 0 ⁡ ( e ) p + 1 p + 1 2 - l i m b → 0 ( b ) p + 1 p + 1 2

= ln ⁡ e e p + 1 p + 1 - 0 - ( e ) p + 1 p + 1 2 - 0

= ln ⁡ e e p + 1 p + 1 - ( e ) p + 1 p + 1 2

Portanto,

Converge para p > - 1   ,e quando isso acontece

∫ 0 e   x p l n ⁡ ( x ) d x = ln ⁡ e e p + 1 p + 1 - e p + 1 p + 1 2 = 1 p + 1 e p + 1 ln ⁡ e - e p + 1 p + 1

Plotando o gráfico de f ( x ) ,

Para p = 1

p = 3 4

p = 15

p = 0

Resposta

∫ 0 e   x p l n ⁡ ( x ) d x

Converge para p > - 1   ,e quando isso acontece

∫ 0 e   x p l n ⁡ ( x ) d x = ln ⁡ e e p + 1 p + 1 - e p + 1 p + 1 2 = 1 p + 1 e p + 1 ln ⁡ e - e p + 1 p + 1

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