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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.Exercícios Práticos - Ex. 17

Calcule a integral. Talvez seja necessário utilizar uma substituição primeiro

∫ v + 3 2 v 3 - 8 v   d v

Passo 1

Inicialmente, perceba que o grau do polinômio de baixo é maior que o de cima. Além disso, podemos reescrever o polinômio do denominador em função de suas raízes ,ou seja,

∫ v + 3 2 v 3 - 8 v   d v = 1 2 ∫ v + 3 v ( v 2 - 4 )   d v = 1 2 ∫ v + 3 v ( v - 2 ) ( v + 2 )   d v

Onde as raízes do denominador são v = 0 e v = ± 2 .

Passo 2

Note que o denominador é um produto de fatores lineares . Dessa maneira, podemos utilizar o método de Heaviside para decompor v + 3 v ( v - 2 ) ( v + 2 )   em frações parciais.

Como as raízes de do denominador são x = 0 e x = ± 2 . Determinamos,

A 1 = 0 + 3 ( 0 - 2 ) ( 0 + 2 ) = 3 ( - 4 ) = - 3 4

Lembrando que v foi oculto do denominador.

A 2 = 2 + 3 2 ( 2 + 2 ) = 5 8

Lembrando que ( v - 2 ) foi oculto do denominador.

A 2 = - 2 + 3 - 2 ( - 2 - 2 ) = 1 8

Lembrando que ( v + 2 ) foi oculto do denominador.

Logo,

v + 3 v ( v - 2 ) ( v + 2 )   = A 1 v + A 2 v - 2 + A 3 v + 2

= - 3 4 v + 5 8 v - 2 + 1 8 v + 2 = - 3 4 1 v + 5 8 1 v - 2 + 1 8 1 v + 2

Passo 3

Precisamos agora, calcular a integral

∫ - 3 4 1 v + 5 8 1 v - 2 + 1 8 1 v + 2 d v

Utilizando a propriedade da soma

= ∫ - 3 4 1 v d v + ∫ 5 8 1 v - 2 d v + ∫ 1 8 1 v + 2 d v

Usando a propriedade da retirada da constante

= - 3 4 ∫ 1 v d v + 5 8 ∫ 1 v - 2 d v + 1 8 ∫ 1 v + 2 d v

Utilizando o método de substituição em cada uma das integrais acima teremos,

= - 3 4 ln ⁡ v + 5 8 ln ⁡ v - 2 + 1 8 l n ⁡ | v + 2 |

Logo,

1 2 ∫ v + 3 v ( v - 2 ) ( v + 2 )   d v = 1 2 - 3 4 ln ⁡ v + 5 8 ln ⁡ v - 2 + 1 8 ln ⁡ v + 2

= - 3 8 ln ⁡ v + 5 16 ln ⁡ v - 2 + 1 16 l n ⁡ | v + 2 |

Portanto,

∫ v + 3 2 v 3 - 8 v   d v = - 3 8 ln ⁡ v + 5 16 ln ⁡ v - 2 + 1 16 l n ⁡ | v + 2 + C

Todas as integrais que calculamos foram indefinidas, sendo assim em cada uma delas era necessário um constante, porém, para economia de notação preferimos acrescentar uma única constante C , ao final. Já que ela corresponderá a soma de todas as constantes não acrescentadas até o momento.

Resposta

∫ v + 3 2 v 3 - 8 v   d v = - 3 8 ln ⁡ v + 5 16 ln ⁡ v - 2 + 1 16 l n ⁡ | v + 2 + C

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