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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.3 - Ex. 74

Para quais valores dos números a e b a função:

f x = a x e b x 2

Tem valor máximo f 2 = 1 ?

Passo 1

Opaa, e aí! Bora resolver esse problema! Temos a função:

f x = a x e b x 2

E queremos achar a e b onde:

f 2 = 1

Que é um ponto de máximo! Temos então que derivar e calcular:

f ' 2 = 0

Vamos que vamos!

Passo 2

Para termos um máximo local em uma função, sua derivada é nula, então:

f x = a x e b x 2

Lembrando que a e b são constantes. Vamos utilizar a regra do produto:

f ' x = a x   '   e b x 2   + e b x 2     ' a x      

Vamos utilizar a regra da cadeia em:

e b x 2     ' = e u ' b x 2

Então:

f ' x = a x   '   e b x 2   + e u ' b x 2 a x      

Derivando:

f ' x = a   e b x 2   + ( e u )   b x 2 a x      

f ' x = a   e b x 2   + ( e b x 2 )   b x 2 a x    

f ' x = a e b x 2   ( 1 + b x 3 )

Assim, para um máximo no ponto 2,1 temos o sistema:

f 2 = 1 f ' 2 = 0

Lembrando que:

f x = a x e b x 2

f ' x = a e b x 2   ( 1 + b x 3 )

Temos então:

f 2 = 2 a e 4 b = 1

f ' 2 = a e 4 b   1 + 8 b = 0

Passo 3

Se 2 a e 4 b   = 1 ⇒ a ≠ 0 então:

a e 4 b ( 1 + 8 b ) = 0

1 + 8 b = 0

b = - 1 8

E se b = - 1 8 , temos:

2 a e 4 b   = 1

a   = 1 2 e 4 b = 1 2 e - 4 8

a   = e 2

Logo, a função é:

f x = a x e b x 2

f x = e 2 x e - x 2 8

Prontinho!

Resposta

a   = e 2 e b = - 1 8 .

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