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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 2.3 - Ex. 48

Mostre que, se x != 0 , então y = (1)/(x) satisfaz a equação x^3 y^(' ') + x^2 y^' - x y = 0 .

Passo 1

Bom ele pede pra gente mostrar que x^3 y^(' ') + x^2 y^' - x y = 0 , onde y = (1)/(x) e x != 0 . Então, precisamos dos valores das terceira e primeira derivadas da função, para substituir na equação e mostrar que ela está correta. Mãos à obra!

Passo 2

Primeiro, vamos achar as derivadas da função:

y = (1)/(x) = x^(- 1)

y^' = - x^(- 2)

y^(' ') = 2 x^(- 3)

y^(' ' ') = - 6 x^(- 4)

Bom, essas são as derivadas da função. Agora só precisamos substituir na equação que o problema nos deus e fazer as continhas.

Passo 3

Temos:

x^3 y^(' ') + x^2 y^' - x y = 0

Substituindo:

2 x^0 - x^0 - x^0 = 0

Arrumando esse cara:

2 - 1 - 1 = 0

:.

0 = 0

Prontinho, provado! 😉

Resposta

Provado no passo a passo.

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