Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 6.2 - Ex. 25

Veja a figura e encontre o volume gerado pela rotação da região ao redor da reta dada.

R 2 em torno de A B

Passo 1

Podemos calcular o volume através da fórmula:

V = ∫ a b A y d y

Sabemos então que a = 0 e b = 1 , R 1 é a curva y = x → x = y 2 , vamos calcular a área agora, como rotacional em x = 1 , que é a reta A B , temos:

A y = π R 2 - π r 2 = π 1 2 - π 1 - y 2 2 = π 1 - 1 + 2 y 2 - y 4 = π 2 y 2 - y 4

Onde usamos o raio como a curva limite.

Pronto, agora só falta calcular o volume:

V = ∫ a b A y d y = ∫ 0 1 π 2 y 2 - y 4 d y

Passo 2

Bem, para achar o valor dessa integral vamos calcular a integral indefinida dela e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração.

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ c f x d x = c ∫ f x d x

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

Agora é só aplicar:

∫ π 2 y 2 - y 4 d y = π ∫ 2 y 2 - y 4 d y = π 2 y 3 3 - y 5 5 + C

Passo 3

Pronto, já encontramos a integral indefinida. Perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral. Agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

∫ a b f x d x = F b - F a

Vamos lá:

V = ∫ 0 1 π 2 y 2 - y 4 d y = π 2 y 3 3 - y 5 5 0 1 = π 2 . 1 3 3 - 1 5 5 - 2 . 0 3 3 - 0 5 5 = π 2 3 - 1 5 = 7 π 15

Resposta

V = 7 π 15

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Use um gráfico para encontrar os valores aproximados das coordenadas x dos pontos de interseção das curvas dadas. Então encontre (aproximadamente) o volume do sólido obtido pela rotação ao redor do ei
Escreva, mas não calcule, uma integral para o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas e ao redor das retas especificadas. 2 x + 3 y = 6 ,y - 1 2 = 4 - x ; a or e d o
Veja a figura e encontre o volume gerado pela rotação da região ao redor da reta especificada: R 2 em torno de B C .
Veja a figura e encontre o volume gerado pela rotação da região ao redor da reta especificada: R 1 em torno de O A .
Veja a figura e encontre o volume gerado pela rotação da região ao redor da reta especificada: R 2 em torno de AB .