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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 6.2 - Ex. 23

Veja a figura e encontre o volume gerado pela rotação da região ao redor da reta dada.

R 2 em torno de O A

Passo 1

Podemos calcular o volume através da fórmula:

V = ∫ a b A x d x

Sabemos então que a = 0 e b = 1 , R 2 é a curva y = x , vamos calcular a área agora, como rotacional em y = 0 , que é a reta O A , temos:

A x = π R 2 - π r 2 = π 1 2 - π x 2 = π 1 - x

Onde usamos o raio como a curva limite.

Pronto, agora só falta calcular o volume:

V = ∫ a b A x d x = ∫ 0 1 π 1 - x d x

Passo 2

Bem, para achar o valor dessa integral vamos calcular a integral indefinida dela e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração.

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando três expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ c f x d x = c ∫ f x d x

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

∫ k d x = k x + C

Agora é só aplicar:

∫ π 1 - x d x = π ∫ 1 - x d x = π x - x 2 2 + C

Passo 3

Pronto, já encontramos a integral indefinida. Perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral. Agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

∫ a b f x d x = F b - F a

Vamos lá:

V = ∫ 0 1 π 1 - x d x = π x - x 2 2 0 1 = π 1 - 1 2 2 - 0 - 0 2 2 = π 1 - 1 2 = π 2

Resposta

V = π 2

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