Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 6.2 - Ex. 36

Escreva, mas não calcule, uma integral para o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas e ao redor das retas especificadas.

Passo 1

Vamos pegar uma região definida entre duas cuvas, e então girar ela em torno de uma reta. Nosso objetivo é calcular o volume do sólido produzido por essa rotação.

Se estivéssemos girando uma única curva em torno de uma reta vertical em , a fórmula para esse volume seria a seguinte:

E se a reta é horizontal, fazemos o mesmo para , e .

Agora, quando falamos da área entre duas curvas, só precisamos fazer a diferença entre os dois volumes:

Onde e serão os pontos em que as curvas se intersectam.

Passo 2

Vamos começar encontrando as funções e :

E para encontrar os limites e , temos que achar os pontos em que as curvas se intersectam:

Considerando e dividindo por :

Então as soluções são:

Passo 3

Então, como , é só substituir na fórmula:

Resposta

O volume será dado pela seguinte integral: .

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Ache o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da região limitada pela curva de y = senh ⁡ x , pelo eixo x , e pelas retas x = 0 e x = ln ⁡ 2 , em torno do eixo x .

Ache o volume do solido de revolução descrito quando a região dada da figura for rotacionada em torno da reta indicada.Uma equação da curva na figura é y 2 = x 3 O A C em torno do eixo x

Ache o volume do solido de revolução descrito quando a região dada da figura for rotacionada em torno da reta indicada.Uma equação da curva na figura é y 2 = x 3 O A C em torno da reta A C

Ache o volume do sólido de revolução gerado quando a região limitada pela curva y = x 3 , pelo eixo x e pelas retas x = 1 e x = 2 é rotacionada em torno do eixo x .

Ache o volume do sólido de revolução gerado quando a região limitada pela curva y = x 2 + 1 , pelo eixo x e pelas retas x = 2 e x = 3 é rotacionada em torno do eixo x .