Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.8 - Ex. 62
A velocidade média das moléculas em um gás ideal é
em que é o peso molar do gás; , a constante do gás; , a temperatura do gás; e , a velocidade molecular. Mostre que
Passo 1
Eaeee, belezinha?? Bom... queremos demonstrar que:
Sabendo que:
em que é o peso molar do gás; , a constante do gás; , a temperatura do gás; e , a velocidade molecular.
Perceba que a nossa única variável é . Assim, basta tratarmos todas as outras como constantes.
Nesse sentido, teremos que resolver a integral.
Aqui a gente está trabalhando com uma integral imprópria (por conta daquele limite no infinito).
Assim, para prosseguirmos, devemos fazer o seguinte procedimento:
Veja que retiramos a ‘impropriedade’ da integral utilizando o limite.
Para facilitar a nossa vida, vamos focar somente em , já que é uma constante.
Agora é resolver essa integral!! 😉
Passo 2
Bom... da nossa integral, temos:
Essa integral é calculada usando integração por partes com e .
Assim, e . Gostaria de lembrar mais uma vez que a nossa variável de integração é a , as outras variáveis são consideradas constantes.
Portanto, aplicando a integral por partes, temos:
Passo 3
Resolvendo aquela integral que nos restou, temos:
Fazendo a substituição:
Assim:
Passo 4
Assim, substituindo na integral do Passo 2, temos:
Passo 5
Sabemos que se . Além disso, usando L’Hospital:
Portanto,
Assim,
Entendeu direitinho?? Responde aee 😉
Resposta
Demonstração.