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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 8.3 - Ex. 33

Calcule as coordenadas do centroide delimitada pelas curvas dadas

x + y = 2     ,       y 2 = x

Passo 1

Sabendo que

x - = 1 A ∫ 0 1 x [ f x - g x ] d x

E,

y - = 1 A ∫ 0 1 [ f x ] 2 - g x 2 d x

Onde A   é área entre as funções.

Vamos achar logo a área , bb! Como temos uma so curva, cuja interseção c 2 - y = y 2 ⇒ y 2 + y - 2 = 0 ⇒ y + 2 y - 1 = 0

Ou seja y = - 2   e y = 1

A =   ∫ - 2 1 ( 2 - y - y 2 )   d y = 2 y - 1 2 y 2 - 1 3 y 3 - 2 1 = 7 6 - - 10 3 = 9 2

Daí,

= 1 A ∫ - 2 1 1 2 2 - y 2 - ( y 2 )   2 d y = 2 9 ⋅ 1 2 ∫ - 2 1 2 y - y 2 - y 3 d y   = 1 9   4 y - 2 y 2 + 1 3 y 3 - 1 5 y 5 - 2 1 = 1 9 32 15 - - 184 15 = 8 5

E,

y - = 1 A ∫ - 2 1 1 2 y 2 - y - y 2 d y = 1 9 2 ⋅ y 2 - 1 3 y 3 - 1 4 y 4 - 2 1 = 2 9 5 12 - 8 3 =   - 1 2

Então o centroide é

x - , y - = 8 5 , - 1 2

Resposta

x - , y - = 8 5 , - 1 2

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