Nos Exercícios de 1 a 40, faça o seguinte: (a) ache os extremos relativos de f pelo teste da primeira derivada; (b) determine os valores de x nos quais os extremos relativos ocorrem; (c) determine os intervalos nos quais f é crescente; (d) determine os intervalos nos quais f é crescente; (e) faça um esboço do gráfico.

25.

Vamos derivar a função fornecida pelo enunciado.

Agora vamos analisar para qual valores de x a primeira derivada zera.

Então achamos o valor de x onde ocorre um estremo relativo, que é . Agora vamos achar o extremo relativo, jogando o x que encontramos na nossa função.

Agora vamos avaliar para quais intervalos é crescente e decrescente, para isso precisamos ver para quais valores de x é positiva e para quais valores ela é negativa.

Como constatamos nos passos anteriores só tem um extremo relativo, então ou ela está crescendo antes desse ponto e caindo depois dele ou o contrário. Então:

Vemos que para:

Basta avaliar a função em valor qualquer maior que .

Para:

Basta avaliar a função em valor qualquer menor que .

Então segundo o teorema 4.4.4, como a função é decrescente antes de e crescente depois do mesmo, logo é ponto de mínimo.

Abaixo temos os resultados resumidos em uma tabela.

Abaixo podemos ver o gráfico da função.