Nos Exercícios de 1 a 40, faça o seguinte: (a) ache os extremos relativos de f pelo teste da primeira derivada; (b) determine os valores de x nos quais os extremos relativos ocorrem; (c) determine os intervalos nos quais f é crescente; (d) determine os intervalos nos quais f é crescente; (e) faça um esboço do gráfico.

25. f(x) = x^(2/3) - x^(1/3)

Passo 1

Basicamente quase tudo nesse exercício depende de analisarmos a derivada da função e os intervalos onde ela é positiva, negativa e zero.

E usaremos o Teorema 4.4.4 do Capítulo 4, Seção 4 do livro.

Passo 2

Vamos derivar a função fornecida pelo enunciado.

f x = x 2 3 - x 1 3

f ' x = 2 3 x 2 3 - 1 - 1 3 x 1 3 - 1

= 2 3 x - 1 3 - 1 3 x - 2 3

⇒ f ' x = 2 3 x - 1 3 - 1 3 x - 2 3

Passo 3

Agora vamos analisar para qual valores de x a primeira derivada zera.

2 3 x - 1 3 - 1 3 x - 2 3 = 0

⇒ 2 3 x - 1 3 = 1 3 x - 2 3

⇒ x - 1 3 = 1 2 x - 2 3

⇒ x - 1 3 x - 2 3 = 1 2

⇒ x - 1 3 - - 2 3 = 1 2

⇒ x 1 3 = 1 2

⇒ x = 1 8

Passo 4

Então achamos o valor de x onde ocorre um estremo relativo, que é x = 1 8 . Agora vamos achar o extremo relativo, jogando o x que encontramos na nossa função.

f x = x 2 3 - x 1 3

f 1 8 = 1 8 2 3 - 1 8 1 3

= 1 4 - 1 2

= 1 - 2 4 = - 1 4

Passo 5

Agora vamos avaliar para quais intervalos f ( x ) é crescente e decrescente, para isso precisamos ver para quais valores de x f ' ( x ) é positiva e para quais valores ela é negativa.

Como constatamos nos passos anteriores f ( x ) só tem um extremo relativo, então ou ela está crescendo antes desse ponto e caindo depois dele ou o contrário. Então:

f ' x = 2 3 x - 1 3 - 1 3 x - 2 3

Vemos que para:

x > 1 8 → f ' x > 0

Basta avaliar a função em valor qualquer maior que 1 8 .

Para:

x < 1 8 → f ' x < 0

Basta avaliar a função em valor qualquer menor que 1 8 .

Então segundo o teorema 4.4.4, como a função é decrescente antes de 1 8 e crescente depois do mesmo, logo f x = - 1 4 é ponto de mínimo.

Abaixo temos os resultados resumidos em uma tabela.

Passo 6

Abaixo podemos ver o gráfico da função.

Resposta

  1. f 1 8 = - 1 4 é extremo relativo.
  2. Em x = 1 8 ocorre um extremo relativo.
  3. f ( x ) é crescente em 1 8 ,   + ∞
  4. f ( x ) é decrescente em - ∞ , 1 8  
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