Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.4 - Ex. 42
42. Prove o Teorema 4.4.4 (ii)
Passo 1
Primeiro vamos ver qual é o teorema que ele quer que provemos.
A parte do teorema que o enunciado pede diz o seguinte:
“Seja uma função contínua em todos os pontos do intervalo aberto contendo o número e suponha que exista em todos os pontos de , exceto possivelmente em :
(ii) se para todos os valores de em algum intervalo aberto, tendo como extremo direito, e se para todos os valores de em algum intervalo aberto, tendo como extremo esquerdo, então terá um valor mínimo relativo em c.
Passo 2
Seja , sendo , o intervalo tendo como seu extremo direito, para o qual para todo no intervalo.
Usando o teorema 4.4.3 do Capítulo 4, seção 4 do livro temos que é decrescente em .
Passo 3
Seja , sendo , o intervalo tendo como seu extremo esquerdo, para o qual
para todo no intervalo.
Usando o teorema 4.4.3 do Capítulo 4, seção 4 do livro temos que é crescente em .
Passo 4
Como é decrescente em , segue da definição 4.4.2 do Capítulo 4, seção 4, que se está em e , então . Também, como é crescente em , segue da definição 4.4.1 do Capítulo 4, seção 4 do livro, que se está em e então , Logo pelo teorema 4.4.4 tem um valor mínimo relativo em .
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)