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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 6.10 - Ex. 14d

Verificar se o campo dado é irrotacional.

d) vec f (x , y , z) = (2 x + cos y z , - x z sen y z , - x y sen y z)

Passo 1

Queremos saber se o campo dado é irrotacional, para isso basta calcularmos o rot vec f e verificar se é igual a vec 0 . Se rot vec f = vec 0 , o campo é irrotacional.

Passo 2

Então podemos calcular rot vec f fazermos o seguinte:

rot vec f = |[[vec i,vec j,vec k],[(del)/(del x),(del)/(del y),(del)/(del z)],[f_1,f_2,f_3]]|

rot vec f = ((del f_3)/(del y) - (del f_2)/(del z)) vec i + ((del f_1)/(del z) - (del f_3)/(del x)) vec j + ((del f_2)/(del x) - (del f_1)/(del y)) vec k

Passo 3

Aplicando a formula cima em vec f temos:

rot vec f = ((del (- x y sen y z))/(del y) - (del (- x z sen y z))/(del z)) vec i + ((del (2 x + cos y z))/(del z) - (del (- x y sen y z))/(del x)) vec j + ((del (- x z sen y z))/(del x) - (del (2 x + cos y z))/(del y)) vec k

rot vec f = (- x sen y z - x y z cos y z + x sen y z + x y z cos y z) vec i + (- y sen y z + y sen y z) vec j + (- z sen y z + z sen y z) vec k

rot vec f = (0) vec i + (0) vec j + (0) vec k

rot vec f = vec 0

Temos então rot vec f = vec 0 , portanto o campo é irrotacional.

Resposta

rot vec f = vec 0

Campo é irrotacional.

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