Se f = 2 \* x^3 \* y \* z e v = x^3 i + xz j + sen(x) k

Calcular:

c) rot(fv)

Passo 1

Queremos encontrar rot ⁡ f v → . Podemos usar a propriedade 6.8 . 3 b que diz o seguinte:

rot ⁡ f v → = f rot ⁡ v → + grad ⁡ f × v →                   1

Passo 2

Para isso precisamos primeiro calcular grad ⁡ f .

O gradiente de f é o seguinte:

∇ f = ∂ f ∂ x i → + ∂ f ∂ y j → + ∂ f ∂ z k →

∇ f = ∂ 2 x 3 y z ∂ x i → + ∂ 2 x 3 y z ∂ y j → + ∂ 2 x 3 y z ∂ z k →

∇ f = 6 x 2 y z i → + 2 x 3 z j → + 2 x 3 y k →

f → = 6 x 2 y z i → + 2 x 3 z j → + 2 x 3 y k →

Passo 3

Agora podemos calcular f → × v → , então basta fazermos o seguinte:

f → × v → = i → j → k → f 1 f 2 f 3 v 1 v 2 v 3

f → × v → = f 2 v 3 - f 3 v 2 i → + f 3 v 1 - f 1 v 3 j → + f 1 v 2 - f 2 v 1 k →

Aplicando a formula acima temos:

f → × v → = 2 x 3 z ⋅ sen ⁡ x - 2 x 3 y ⋅ x z i → + 2 x 3 y ⋅ x 3 - 6 x 2 y z ⋅ sen ⁡ x j → + 6 x 2 y z ⋅ x z - 2 x 3 z ⋅ x 3 k →

f → × v → = 2 x 3 z sen ⁡ x - 2 x 4 y z i → + 2 x 6 y - 6 x 2 y z sen ⁡ x j → + 6 x 3 y z 2 - 2 x 6 z k →

Passo 4

Agora nós temos que calcular rot ⁡ v → , então basta fazermos o seguinte:

rot ⁡ v → = i → j → k → ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z v 1 v 2 v 3

rot ⁡ v → = ∂ v 3 ∂ y - ∂ v 2 ∂ z i → + ∂ v 1 ∂ z - ∂ v 3 ∂ x j → + ∂ v 2 ∂ x - ∂ v 1 ∂ y k →

Aplicando a formula acima em f v → temos:

v → = x 3 i → + x z j → + sen ⁡ x k →

rot ⁡ v → = ∂ sen ⁡ x ∂ y - ∂ x z ∂ z i → + ∂ x 3 ∂ z - ∂ sen ⁡ x ∂ x j → + ∂ x z ∂ x - ∂ x 3 ∂ y k →

rot ⁡ v → = 0 - x i → + 0 - cos ⁡ x j → + z - 0 k →

rot ⁡ v → = - x i → + - cos ⁡ x j → + z k →

Passo 5

Agora podemos calcular rot ⁡ f v → substituindo rot ⁡ v → , f → × v → e f na expressão 1 .

rot ⁡ f v → = f rot ⁡ v → + grad ⁡ f × v →

Substituindo temos:

rot ⁡ f v → = 2 x 3 y z - x i → + - cos ⁡ x j → + z k → + 2 x 3 z sen ⁡ x - 2 x 4 y z i → + 2 x 6 y - 6 x 2 y z sen ⁡ x j → + 6 x 3 y z 2 - 2 x 6 z k →

rot ⁡ f v → = - 2 x 4 y z i → + - 2 x 3 y z cos ⁡ x j → + 2 x 3 y z 2 k → + 2 x 3 z sen ⁡ x - 2 x 4 y z i → + 2 x 6 y - 6 x 2 y z sen ⁡ x j → + 6 x 3 y z 2 - 2 x 6 z k →

rot ⁡ f v → = 2 x 3 z sen ⁡ x - 4 x 4 y z i → + 2 x 6 y - 6 x 2 y z sen ⁡ x - 2 x 3 y z cos ⁡ x j → + 8 x 3 y z 2 - 2 x 6 z k →

Resposta

rot ⁡ f v → = 2 x 3 z sen ⁡ x - 4 x 4 y z i → + 2 x 6 y - 6 x 2 y z sen ⁡ x - 2 x 3 y z cos ⁡ x j → + 8 x 3 y z 2 - 2 x 6 z k →

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