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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 6.10 - Ex. 9c

Se f = 2 x^3 y z e vec v = x^3 vec i + x z vec j + sen x vec k

Calcular:

c) rot (f vec v)

Passo 1

Queremos encontrar rot (f vec v) . Podemos usar a propriedade 6.8 . 3 b que diz o seguinte:

rot (f vec v) = f rot vec v + grad f xx vec v (1)

Passo 2

Para isso precisamos primeiro calcular grad f .

O gradiente de f é o seguinte:

grad f = ((del (f))/(del x)) vec i + ((del (f))/(del y)) vec j + ((del (f))/(del z)) vec k

grad f = ((del (2 x^3 y z))/(del x)) vec i + ((del (2 x^3 y z))/(del y)) vec j + ((del (2 x^3 y z))/(del z)) vec k

grad f = (6 x^2 y z) vec i + (2 x^3 z) vec j + (2 x^3 y) vec k

vec f = (6 x^2 y z) vec i + (2 x^3 z) vec j + (2 x^3 y) vec k

Passo 3

Agora podemos calcular vec f xx vec v , então basta fazermos o seguinte:

vec f xx vec v = |[[vec i,vec j,vec k],[f_1,f_2,f_3],[v_1,v_2,v_3]]|

vec f xx vec v = (f_2 v_3 - f_3 v_2) vec i + (f_3 v_1 - f_1 v_3) vec j + (f_1 v_2 - f_2 v_1) vec k

Aplicando a formula acima temos:

vec f xx vec v = (2 x^3 z * sen x - 2 x^3 y * x z) vec i + (2 x^3 y * x^3 - 6 x^2 y z * sen x) vec j + (6 x^2 y z * x z - 2 x^3 z * x^3) vec k

vec f xx vec v = (2 x^3 z sen x - 2 x^4 y z) vec i + (2 x^6 y - 6 x^2 y z sen x) vec j + (6 x^3 y z^2 - 2 x^6 z) vec k

Passo 4

Agora nós temos que calcular rot vec v , então basta fazermos o seguinte:

rot (vec v) = |[[vec i,vec j,vec k],[(del)/(del x),(del)/(del y),(del)/(del z)],[v_1,v_2,v_3]]|

rot (vec v) = ((del v_3)/(del y) - (del v_2)/(del z)) vec i + ((del v_1)/(del z) - (del v_3)/(del x)) vec j + ((del v_2)/(del x) - (del v_1)/(del y)) vec k

Aplicando a formula acima em (f vec v) temos:

vec v = x^3 vec i + x z vec j + sen x vec k

rot (vec v) = ((del (sen x))/(del y) - (del (x z))/(del z)) vec i + ((del (x^3))/(del z) - (del (sen x))/(del x)) vec j + ((del (x z))/(del x) - (del (x^3))/(del y)) vec k

rot (vec v) = (0 - x) vec i + (0 - cos x) vec j + (z - 0) vec k

rot (vec v) = (- x) vec i + (- cos x) vec j + (z) vec k

Passo 5

Agora podemos calcular rot (f vec v) substituindo rot (vec v) , vec f xx vec v e f na expressão (1) .

rot (f vec v) = f rot vec v + grad f xx vec v

Substituindo temos:

rot (f vec v) = (2 x^3 y z) [(- x) vec i + (- cos x) vec j + (z) vec k] + (2 x^3 z sen x - 2 x^4 y z) vec i + (2 x^6 y - 6 x^2 y z sen x) vec j + (6 x^3 y z^2 - 2 x^6 z) vec k

rot (f vec v) = (- 2 x^4 y z) vec i + (- 2 x^3 y z cos x) vec j + (2 x^3 y z^2) vec k + (2 x^3 z sen x - 2 x^4 y z) vec i + (2 x^6 y - 6 x^2 y z sen x) vec j + (6 x^3 y z^2 - 2 x^6 z) vec k

rot (f vec v) = (2 x^3 z sen x - 4 x^4 y z) vec i + (2 x^6 y - 6 x^2 y z sen x - 2 x^3 y z cos x) vec j + (8 x^3 y z^2 - 2 x^6 z) vec k

Resposta

rot (f vec v) = (2 x^3 z sen x - 4 x^4 y z) vec i + (2 x^6 y - 6 x^2 y z sen x - 2 x^3 y z cos x) vec j + (8 x^3 y z^2 - 2 x^6 z) vec k

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Esboce o campo vetorial F → desenhando um diagrama como o da Figura 5 ou da Figura 9. F → x ,y = 1 2 ⋅ x ⋅ i → + y ⋅ j →
Determine o campo vetorial gradiente f .f (x , y) = x e^(x y)
F x , y = x , - y