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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 6.10 - Ex. 14a

Verificar se o campo dado é irrotacional.

a) vec f (x , y , z) = (y z , x z , x y)

Passo 1

Queremos saber se o campo dado é irrotacional, para isso basta calcularmos o rot vec f e verificar se é igual a vec 0 . Se rot vec f = vec 0 , o campo é irrotacional.

Passo 2

Então podemos calcular rot vec f fazermos o seguinte:

rot vec f = |[[vec i,vec j,vec k],[(del)/(del x),(del)/(del y),(del)/(del z)],[f_1,f_2,f_3]]|

rot vec f = ((del f_3)/(del y) - (del f_2)/(del z)) vec i + ((del f_1)/(del z) - (del f_3)/(del x)) vec j + ((del f_2)/(del x) - (del f_1)/(del y)) vec k

Passo 3

Aplicando a formula cima em vec f temos:

rot vec f = ((del (x y))/(del y) - (del (x z))/(del z)) vec i + ((del (y z))/(del z) - (del (x y))/(del x)) vec j + ((del (x z))/(del x) - (del (y z))/(del y)) vec k

rot vec f = (x - x) vec i + (y - y) vec j + (z - z) vec k

rot vec f = (0) vec i + (0) vec j + (0) vec k

rot vec f = vec 0

Temos então rot vec f = vec 0 , portanto o campo é irrotacional.

Resposta

rot vec f = vec 0

Campo é irrotacional.

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Determine o campo vetorial gradiente f .f (x , y) = cos (x) - 2 s i n ( y )
Esboce o campo vetorial F → desenhando o diagrama como na figura 5 ou figura 9.
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Encontre o vetor gradiente de f .
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