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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 6.10 - Ex. 7g

Sejam vec f = (x z , z y , x y) e vec g = (x^2 , y^2 , z^2) .

Determinar:

g) (grad xx vec f) * (grad xx vec g)

Passo 1

g) Queremos encontrar (grad xx vec f) * (grad xx vec g) , para isso precisamos primeiro fazer (grad xx vec f) . Sabemos que r o t vec f = grad xx vec f .

Então basta fazermos o seguinte:

r o t vec f = |[[vec i,vec j,vec k],[(del)/(del x),(del)/(del y),(del)/(del z)],[f_1,f_2,f_3]]|

r o t vec f = ((del f_3)/(del y) - (del f_2)/(del z)) vec i + ((del f_1)/(del z) - (del f_3)/(del x)) vec j + ((del f_2)/(del x) - (del f_1)/(del y)) vec k

Passo 2

Aplicando a formula cima em vec f temos:

grad xx vec f = r o t vec f = ((del (x y))/(del y) - (del (z y))/(del z)) vec i + ((del (x z))/(del z) - (del (x y))/(del x)) vec j + ((del (z y))/(del x) - (del (x z))/(del y)) vec k

grad xx vec f = (x - y) vec i + (x - y) vec j + (0 - 0) vec k

grad xx vec f = (x - y) vec i + (x - y) vec j

Passo 3

Agora encontramos grad xx vec g , mas sabemos que r o t vec g = grad xx vec g .

Então basta fazermos o seguinte:

r o t vec g = |[[vec i,vec j,vec k],[(del)/(del x),(del)/(del y),(del)/(del z)],[g_1,g_2,g_3]]|

r o t vec g = ((del g_3)/(del y) - (del g_2)/(del z)) vec i + ((del g_1)/(del z) - (del g_3)/(del x)) vec j + ((del g_2)/(del x) - (del g_1)/(del y)) vec k

Passo 4

Aplicando a formula cima em vec g temos:

grad xx vec g = r o t vec g = ((del (z^2))/(del y) - (del (y^2))/(del z)) vec i + ((del (x^2))/(del z) - (del (z^2))/(del x)) vec j + ((del (y^2))/(del x) - (del (x^2))/(del y)) vec k

grad xx vec g = (0 - 0) vec i + (0 - 0) vec j + (0 - 0) vec k

grad xx vec f = 0

Passo 5

Com os resultados acima, podemos encontrar (grad xx vec f) * (grad xx vec g) . O produto escalar entre os dois vetores é o seguinte:

(grad xx vec f) * (grad xx vec g) = ((x - y) vec i + (x - y) vec j + (0) vec k) * ((0) vec i + (0) vec j + (0) vec k)

(grad xx vec f) * (grad xx vec g) = (x - y) * 0 + (x - y) * 0 + 0 * 0

(grad xx vec f) * (grad xx vec g) = 0 + 0 + 0

(grad xx vec f) * (grad xx vec g) = 0

Resposta

(grad xx vec f) * (grad xx vec g) = 0

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