Sejam f = (xz, zy, xy) e g = (x^2, y^2, z^2) .

Determinar:

g) ∇ × f → ⋅ ∇ × g →

Passo 1

g) Queremos encontrar ∇ × f → ⋅ ∇ × g → , para isso precisamos primeiro fazer ∇ × f → . Sabemos que r o t   f → = ∇ × f → .

Então basta fazermos o seguinte:

r o t   f → = i → j → k → ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z f 1 f 2 f 3

r o t   f → = ∂ f 3 ∂ y - ∂ f 2 ∂ z i → + ∂ f 1 ∂ z - ∂ f 3 ∂ x j → + ∂ f 2 ∂ x - ∂ f 1 ∂ y k →

Passo 2

Aplicando a formula cima em f → temos:

∇ × f → = r o t   f → = ∂ x y ∂ y - ∂ z y ∂ z i → + ∂ x z ∂ z - ∂ x y ∂ x j → + ∂ z y ∂ x - ∂ x z ∂ y k →

∇ × f → = x - y i → + x - y j → + 0 - 0 k →

∇ × f → = x - y i → + x - y j →

Passo 3

Agora encontramos ∇ × g → , mas sabemos que r o t   g → = ∇ × g → .

Então basta fazermos o seguinte:

r o t   g → = i → j → k → ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z g 1 g 2 g 3

r o t   g → = ∂ g 3 ∂ y - ∂ g 2 ∂ z i → + ∂ g 1 ∂ z - ∂ g 3 ∂ x j → + ∂ g 2 ∂ x - ∂ g 1 ∂ y k →

Passo 4

Aplicando a formula cima em g → temos:

∇ × g → = r o t   g → = ∂ z 2 ∂ y - ∂ y 2 ∂ z i → + ∂ x 2 ∂ z - ∂ z 2 ∂ x j → + ∂ y 2 ∂ x - ∂ x 2 ∂ y k →

∇ × g → = 0 - 0 i → + 0 - 0 j → + 0 - 0 k →

∇ × f → = 0

Passo 5

Com os resultados acima, podemos encontrar ∇ × f → ⋅ ∇ × g → . O produto escalar entre os dois vetores é o seguinte:

∇ × f → ⋅ ∇ × g → = x - y i → + x - y j → + 0 k → ⋅ 0 i → + 0 j → + 0 k →

∇ × f → ⋅ ∇ × g → = x - y ⋅ 0 + x - y ⋅ 0 + 0 ⋅ 0

∇ × f → ⋅ ∇ × g → = 0 + 0 + 0

∇ × f → ⋅ ∇ × g → = 0

Resposta

∇ × f → ⋅ ∇ × g → = 0

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