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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.1 - Ex. 12

Calcule int_C ( x y + y + z ) d s ao longo da curva r ( t ) = 2 t i + t j + ( 2 - 2 t ) k , 0 <= t <= 1

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Para calcularmos a integral int_c sqrt(x^2 + y^2) d s sobre uma curva C , dada pela equação de reta parametrizada vec r ( t ) = ( 4 c o s t ) vec i + ( 4 s e n t ) vec j + 3 t vec k com - 2 pi <= t <= 2 pi devemos lembrar da teoria da página 363.

Passo 2

Assim, a integral int_c sqrt(x^2 + y^2) d s pode ser escrita como int_(- 2 pi)^(2 pi) f ( 4 c o s t , 4 s e n t , 3 t ) |(d overset(‾)(r))/(d t)| d t , onde f ( 4 c o s t , 4 s e n t , 3 t ) é uma função contínua em C e |(d overset(‾)(r))/(d t)| a velocidade instantânea sobre a curva C .

Passo 3

Precisamos agora encontrar a f ( x , y , z ) calculada para sqrt(x^2 + y^2) , com x = 4 c o s t e y = 4 s e n t , que será igual a f ( 4 c o s t , 4 s e n t , 3 t ) = sqrt(( 4 c o s t )^2 + ( 4 s e n t )^2) = 4 .A velocidade dada por vec v = (d vec r)/(d t) = ( - 4 s e n t ) vec i + ( 4 c o s t ) vec j + 3 vec k .O módulo de vec v será igual a:

[[,|(d vec r)/(d t)|,=,|,(,-,4,s,e,n,,t,),vec i,+,(,4,c,o,s,,t,),vec j,+,3,vec k,|,=,sqrt(( - 4 s e n t )^2 + ( 4 c o s t )^2 + 3^2)],[,|(d vec r)/(d t)|,=,sqrt(16 s e n^2 + 16 c o s t^2 + 9),=,sqrt(16 (s e n^2 t + c o s^2 t) + 9),=,sqrt(25),=,5]]

Passo 4

Podemos agora voltar a forma da integral dada por int_(- 2 pi)^(2 pi) f ( 4 c o s t , 4 s e n t , 3 t ) |(d vec r)/(d t)| d t Fazendo as substituições de int_(- 2 pi)^(2 pi) f ( 4 c o s t , 4 s e n t , 3 t ) |(d overset(‾)(r))/(d t)| d t e |(d overset(‾)(r))/(d t)| calculados anteriormente, teremos então o resultado da questão que é:

int_(- 2 pi)^(2 pi) ( 4 ) ( 5 ) d t = (20 t|_(- 2 pi)^(2 pi) = 20 ( 2 pi ) - 20 ( - 2 pi ) = 80 pi

Resposta

Resposta nos passos.

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Represente geometricamente o campo vetorial dado.f) v → x , y = - y x 2 + y 2 i → + x x 2 + y 2 j →
Represente geometricamente o campo vetorial dado.d) v → x , y = 1 - x 2 j → , x1
Represente geometricamente o campo vetorial dado.e) F → x , y = x x 2 + y 2 i → + y x 2 + y 2 j →
Represente geometricamente o campo vetorial dado.b) h → x , y = i → + j →
Represente geometricamente o campo vetorial dado.c) F → x , y =- y i → + x j → (observe: x i → + y j → - y i → + x j → = 0 )