Verificar se as curvas dadas estão parametrizadas pelo comprimento de arco:

q → s = (a * cos(s/c), a * sen(s/c), b * sen(s/c)), c² = a² + b²

Passo 1

Pra verificar se uma curva está parametrizada pelo comprimento de arco, a gente só tem um trabalho: vamos derivar a parametrização da curva e calcular o módulo dessa derivada. Se o módulo for igual a 1 , podemos dizer que sim, ela está parametrizada pelo comprimento de arco! Então é isso que vamos fazer.

Passo 2

A nossa função r → ( s ) é:

q → s = a cos ⁡ s c ,   a   s e n s c ,   b s c

Derivando,

q ' → s = - a c s e n s c , a c cos ⁡ s c , b c

Passo 3

Prontinho, temos a função derivada. Agora vamos ver se o módulo dessa derivada é unitário:

q ' → s 2 = - a c s e n s c 2 + a c cos ⁡ s c 2 + b c 2

Desenvolvendo,

q ' → s 2 = a 2 c 2 s e n 2 s c + a 2 c 2 cos 2 ⁡ s c + b 2 c 2  

Nos dois primeiros termos a gente tem a relação fundamental da trigonometria!

q ' → s 2 = a 2 c 2 + b 2 c 2  

Como ele disse, a 2 + b 2 = c 2 , então:

q ' → s 2 = c 2 c 2 = 1

q ' → s = 1

Beleza, como o módulo é unitário, então essa função está parametrizada pelo comprimento de arco!

Resposta

Está parametrizada pelo comprimento de arco.

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