Verificar se as curvas dadas estão parametrizadas pelo comprimento de arco:

r(t) = (sen(t), cos(t)), t >= 0

Passo 1

Pra verificar se uma curva está parametrizada pelo comprimento de arco, a gente só tem um trabalho: vamos derivar a parametrização da curva e calcular o módulo dessa derivada. Se o módulo for igual a 1 , podemos dizer que sim, ela está parametrizada pelo comprimento de arco! Então é isso que vamos fazer.

Passo 2

A nossa função r → ( t ) é:

r → t = s e n t ,   c o s t

Derivando,

r ' → t = ( c o s t ,   - s e n t )

Passo 3

Prontinho, temos a função derivada. Agora vamos ver se o módulo dessa derivada é unitário:

r ' → t 2 = c o s t 2 + - s e n t 2

Elevando ao quadrado,

r ' → t 2 = cos 2 ⁡ t + s e n 2 t

Essa é a relação fundamental!

r ' → t 2 = 1

r ' → t = 1

Beleza, como o módulo é unitário, então essa função está parametrizada pelo comprimento de arco!

Resposta

Está parametrizada pelo comprimento de arco.

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