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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 9.6 - Ex. 4.e

4. Verificar que as integrais são independentes do caminho de integração e determinar seus valores.

e) ∫ 1,1 , 1 1,2 , 3 [ 2 x   s e n z   d x + z 3 - e y d y + x 2 c o s z + 3 y z 2 d z ]

Passo 1

Vamos começar calculando as derivadas parciais de primeira ordem para saber se é conservativo.

Sendo

f 1 = 2 x   s e n z

f 2 = z 3 - e y

f 3 = x 2 c o s z + 3 y z 2

As derivadas

∂ f 1 ∂ y = 0

∂ f 2 ∂ x = 0

∂ f 1 ∂ z = 2 x   c o s z

∂ f 3 ∂ x = 2 x   c o s z

∂ f 2 ∂ z = 3 z 2

∂ f 3 ∂ y = 3 z 2

Como ∂ f 1 ∂ y = ∂ f 2 ∂ x = 0 ∂ f 1 ∂ z = ∂ f 3 ∂ x = 2 x   c o s z   e ∂ f 2 ∂ z = ∂ f 3 ∂ y = 3 z 2 , então é conservativo.

Passo 2

Agora vamos determinar a função potencial u(x,y,z).

Temos

∂ u ∂ x = 2 x   s e n z                 1

∂ u ∂ y = z 3 - e y                 2

∂ u ∂ z = x 2 c o s z + 3 y z 2                     3

Integrando a equação (1) em relação a x, ficamos com

u = ∫ 2 x   s e n z   d x

u = x 2 s e n z + a y , z

Obs: aqui a y , z é a constante de integração (ela é constante em relaçao a x)

Agora derivamos esse resultado em relação a y

∂ u ∂ y = ∂ a ∂ y

Se compararmos agora com a equação (2), percebemos que

∂ a ∂ y = z 3 - e y

Integrando esse último resultado em relação a y, ficamos com

a = z 3 y - e y + b z

Substituindo na expressão de u

u = x 2 s e n z + z 3 y - e y + b z

Derivando esse resultado em relação a z

∂ u ∂ z = x 2 c o s z + 3 z 2 y + ∂ b ∂ z

Comparando com a equação (3), temos que

∂ b ∂ z = 0

Então b é constante e vamos chamar b = C.

Onde C é a constante de integração final.

Substituindo na expressão de u

u = x 2 s e n z + z 3 y - e y + C

Por final, temos

∫ 1,1 , 1 1,2 , 3 [ 2 x   s e n z   d x + z 3 - e y d y + x 2 c o s z + 3 y z 2 d z ] = u 1,2 , 3 - u 1 , 1,1

= ( 1 2 × s e n 3 + 3 3 × 2 - e 2 + C ) - ( 1 2 × s e n 1 + 1 3 × 1 - e 1 + C )

= s e n 3 + 54 - e 2 + C - s e n 1 - 1 + e 1 - C

= s e n 3 - s e n 1 + e - e 2 + 53

Resposta

s e n 3 - s e n 1 + e - e 2 + 53

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