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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 6.10 - Ex. 7c

Sejam vec f = ( x z , z y , x y ) e vec g = (x^2 , y^2 , z^2) . Determinar:

grad xx vec f

Passo 1

A questão nos pede pra calcular grad xx vec f . Mas o que é isso? Simples, galera: é o rotacional do campo! É uma notaçãozinha diferente, mas é só isso. Então nosso trabalho nessa questão é bem simples: queremos calcular o rotacional do campo vetorial vec f dado. Bom, isso não é um desafio, já que conhecemos direitinho a expressão que dá o rotacional do campo.

Vamos considerar o campo vec f :

vec f (x , y , z) = f_1 (x , y , z) vec i + f_2 (x , y , z) vec j + f_3 (x , y , z) vec k

Que também pode estar escrito como:

vec f (x , y , z) = (f_1 , f_2 , f_3)

O rotacional desse campo vai ser:

r o t vec f = |[[vec i,vec j,vec k],[(del)/(del x),(del)/(del y),(del)/(del z)],[f_1,f_2,f_3]]| = ((del f_3)/(del y) - (del f_2)/(del z)) vec i + ((del f_1)/(del z) - (del f_3)/(del x)) vec j + ((del f_2)/(del x) - (del f_1)/(del y)) vec k

Passo 2

Bora lá! O campo dessa questão é:

vec f = ( x z , z y , x y )

Então,

f_1 = x z

f_2 = z y

f_3 = x y

Vamos lá, calculando as derivadas parciais na ordem em que aparecem na expressão!

(del f_3)/(del y) = (del (x y))/(del y) = x

(del f_2)/(del z) = (del (z y))/(del z) = y

(del f_1)/(del z) = (del ( x z ))/(del z) = x

(del f_3)/(del x) = (del ( x y ))/(del x) = y

(del f_2)/(del x) = (del ( z y ))/(del x) = 0

(del f_1)/(del y) = (del ( x z ))/(del y) = 0

Agora é só substituir!

r o t vec f = ( x - y ) vec i + (x - y) vec j + (0 - 0) vec k

Arrumando,

r o t vec f = (x - y) (vec i + vec j)

Acabamos!

Resposta

r o t vec f = (x - y) (vec i + vec j)

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