Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 6.10 - Ex. 4e

Encontrar a divergência e o rotacional do campo vetorial dado.

f → x ,   y ,   z = x y z 3 ,   2 x y 3 , - x 2 y z

Passo 1

Nosso trabalho nessa questão é bem simples: queremos calcular a divergência do campo vetorial f → dado. Bom, isso não é um desafio, já que conhecemos direitinho a expressão que dá a divergência do campo.

Vamos considerar o campo f → :

f → x ,   y ,   z = f 1 x ,   y ,   z   i → + f 2 x ,   y ,   z   j → + f 3 x ,   y ,   z   k →

Que também pode estar escrito como:

f → x ,   y ,   z = f 1 ,   f 2 ,   f 3

A divergência desse campo vai ser:

d i v   f → = ∂ f 1 ∂ x + ∂ f 2 ∂ y + ∂ f 3 ∂ z

Depois disso, vamos encontrar o rotacional do campo, que é calculado por:

r o t   f → = i → j → k → ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z f 1 f 2 f 3 = ∂ f 3 ∂ y - ∂ f 2 ∂ z i → + ∂ f 1 ∂ z - ∂ f 3 ∂ x j → + ∂ f 2 ∂ x - ∂ f 1 ∂ y k →

Passo 2

Bora lá! O campo dessa questão é:

f → x ,   y ,   z = x y z 3 ,   2 x y 3 , - x 2 y z

Então,

f 1 = x y z 3

f 2 = 2 x y 3

f 3 = - x 2 y z

Calculando as derivadas parciais, sem esquecer da regra da cadeia!

∂ f 1 ∂ x = ∂ ( x y z 3   ) ∂ x = y z 3

∂ f 2 ∂ y = ∂ ( 2 x y 3 ) ∂ y = 6 x y 2

∂ f 3 ∂ z = ∂ ( - x 2 y z ) ∂ z = - x 2 y

Juntando tudo:

d i v   f → = ∂ f 1 ∂ x + ∂ f 2 ∂ y + ∂ f 3 ∂ z

Substituindo,

d i v   f → = y z 3 + 6 x y 2 - x 2 y

Passo 3

Beleza, achamos a divergência, agora vamos pro rotacional.

r o t   f → = ∂ f 3 ∂ y - ∂ f 2 ∂ z i → + ∂ f 1 ∂ z - ∂ f 3 ∂ x j → + ∂ f 2 ∂ x - ∂ f 1 ∂ y k →

Bom, então vamos ter que calcular mais umas derivadas que faltaram! Vamos lá, na ordem em que aparecem na expressão!

∂ f 3 ∂ y = ∂ - x 2 y z ∂ y = - x 2 z

∂ f 2 ∂ z = ∂ 2 x y 3 ∂ z = 0

∂ f 1 ∂ z = ∂ ( x y z 3 ) ∂ z = 3 x y z 2

∂ f 3 ∂ x = ∂ ( - x 2 y z ) ∂ x = - 2 x y z

∂ f 2 ∂ x = ∂ ( 2 x y 3 ) ∂ x = 2 y 3

∂ f 1 ∂ y = ∂ ( x y z 3 ) ∂ y = x z 3

Agora é só substituir!

r o t   f → = - x 2 z i → + 3 x y z 2 + 2 x y z j → + 2 y 3 - x z 3 k →

Acabamos!

Resposta

d i v   f → = y z 3 + 6 x y 2 - x 2 y

r o t   f → = - x 2 z i → + 3 x y z 2 + 2 x y z j → + 2 y 3 - x z 3 k →

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Represente geometricamente o campo vetorial dado.d) v → x , y = 1 - x 2 j → , x1
Represente geometricamente o campo vetorial dado.e) F → x , y = x x 2 + y 2 i → + y x 2 + y 2 j →
Represente geometricamente o campo vetorial dado.b) h → x , y = i → + j →
Represente geometricamente o campo vetorial dado.c) F → x , y =- y i → + x j → (observe: x i → + y j → - y i → + x j → = 0 )
Represente geometricamente o campo vetorial dado.f) v → x , y = x x 2 + y 2 i → + y x 2 + y 2 j →