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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 10.3 - Ex. 37

Nos exercícios 21 a 45, escrever uma representação paramétrica para a superfície dada

Parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 que está entre os semiplanos y = x e y = 2 x , x ≥ 0

Passo 1

x 2 + y 2 + z 2 = 1

y = x , y = 2 x , x ≥ 0

É a equação uma esfera de raio a = 1 e com centro na origem.

Aplicando na equação paramétrica da esfera:

r → ( u , v ) = cos ⁡ v cos ⁡ u i → + cos ⁡ v sen ⁡ u j → + sen ⁡ v k →

As componentes dessa equação são:

x = cos ⁡ v cos ⁡ u

y = cos ⁡ v sen ⁡ u

z = sen ⁡ v

Passo 2

Vamos calcular os valores de v e u para que a região seja contida entre os semiplanos y = x e y = 2 x

Considerando o limite y = x

x = y

cos ⁡ v cos ⁡ u = cos ⁡ v sen ⁡ u

cos ⁡ u = sen ⁡ u

tan ⁡ u = 1

u = π 4

Considerando o limite y = 2 x

2 x = y

2 cos ⁡ v cos ⁡ u = cos ⁡ v sen ⁡ u

2 cos ⁡ u = sen ⁡ u

tan ⁡ u = 2

u = atan ⁡ 2

Conseguimos o intervalo

π 4 < u < atan ⁡ 2

Passo 3

Considerando o limite x ≥ 0

x ≥ 0

cos ⁡ v cos ⁡ u ≥ 0

Por definição, as variações de v é:

- π 2 ≤ v ≤ π 2

Nesta região o cos ⁡ v é sempre maior do que zero. Então, para a expressão acima ser verdeira temos que:

cos ⁡ u ≥ 0

Obtemos como resposta dois intervalos:

0 < u < π 2

3 2 π < u < 2 π

A região 3 2 π < u < 2 π não está contida entre os semiplanos. Mas os semiplanos estão contidos em 0 < u < π 2 .

Resposta

x = cos ⁡ v cos ⁡ u

y = cos ⁡ v sen ⁡ u

z = sen ⁡ v

- π 2 ≤ v ≤ π 2

π 4 < u < atan ⁡ 2

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