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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 9.6 - Ex. 8.c

8. Calcular ∫ C [ x x 2 + y 2 d x + y x 2 + y 2 d y ] , ao longo dos seguintes caminhos:

(c) poligonal ABC com A(1,1), B(3,3) e C(4,1/4);

Passo 1

Vamos começar calculando as derivadas parciais de primeira ordem para saber se é conservativo.

Sendo

f 1 = x x 2 + y 2

f 2 = y x 2 + y 2

As derivadas

∂ f 1 ∂ y = - x y x 2 + y 2 3 2

∂ f 2 ∂ x = - x y x 2 + y 2 3 2

Como ∂ f 1 ∂ y = ∂ f 2 ∂ x = = - x y x 2 + y 2 3 2 , então é conservativo.

Passo 2

Agora vamos determinar a função potencial u(x,y).

Temos

∂ u ∂ x = x x 2 + y 2                 1

∂ u ∂ y = y x 2 + y 2                 2

Integrando a equação (1) em relação a x, ficamos com

u = ∫ x x 2 + y 2   d x

u = x 2 + y 2 + a y

Obs: aqui a y é a constante de integração (ela é constante em relação a x)

Agora derivamos esse resultado em relação a y

∂ u ∂ y = y x 2 + y 2 + ∂ a ∂ y

Se compararmos agora com a equação (2), percebemos que

∂ a ∂ y = 0

Então a é constante em relação a y também, então podemos escrever C .

Onde C é a constante de integração final.

Substituindo na expressão de u

u = x 2 + y 2 + C

Por final, temos

∫ C [ x x 2 + y 2 d x + y x 2 + y 2 d y ] = u 4,1 / 4 - u 1,1

= 4 2 + 1 4 2 + C - 1 2 + 1 2 - C

= 257 4 - 2

Resposta

257 4 - 2

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