Determinar rot f^→ sendo:

f = sen xy i + cos xy j + z k

Passo 1

Nosso trabalho nessa questão é bem simples: queremos calcular o rotacional do campo vetorial f → dado. Bom, isso não é um desafio, já que conhecemos direitinho a expressão que dá o rotacional do campo.

Vamos considerar o campo f → :

f → x ,   y ,   z = f 1 x ,   y ,   z   i → + f 2 x ,   y ,   z   j → + f 3 x ,   y ,   z   k →

Que também pode estar escrito como:

f → x ,   y ,   z = f 1 ,   f 2 ,   f 3

O rotacional desse campo vai ser:

r o t   f → = i → j → k → ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z f 1 f 2 f 3 = ∂ f 3 ∂ y - ∂ f 2 ∂ z i → + ∂ f 1 ∂ z - ∂ f 3 ∂ x j → + ∂ f 2 ∂ x - ∂ f 1 ∂ y k →

Passo 2

Bora lá! O campo dessa questão é:

f → = s e n   x y   i → + cos ⁡ x y   j → + z   k →

Então,

f 1 = s e n   x y  

f 2 = cos ⁡ x y

f 3 = z

Vamos lá, calculando as derivadas parciais na ordem em que aparecem na expressão!

∂ f 3 ∂ y = ∂ z ∂ y = 0

∂ f 2 ∂ z = ∂ cos ⁡ x y ∂ z = 0

∂ f 1 ∂ z = ∂ ( s e n   x y ) ∂ z = 0

∂ f 3 ∂ x = ∂ ( z ) ∂ x = 0

∂ f 2 ∂ x = ∂ ( cos ⁡ x y ) ∂ x = - y   s e n   x y

∂ f 1 ∂ y = ∂ ( s e n   x y ) ∂ y = x cos ⁡ x y

Agora é só substituir!

r o t   f → = ( 0 - 0 ) i → + 0 - 0 j → + - y   s e n   x y - x cos ⁡ x y k →

Arrumando,

r o t   f → = - y   s e n   x y + x cos ⁡ x y   k →

Acabamos!

Resposta

r o t   f → = - y   s e n   x y + x cos ⁡ x y   k →

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