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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 4.10 - Ex. 1a

Verificar a regra da cadeia

(d f)/(d t) = (del f)/(del x) . (d x)/(d t) + (del f)/(del y) . (d y)/(d t)

Para a função

f (x , y) = ln (x^2 + y^2)

x = 2 t + 1

y = 4 t^2 - 5

Passo 1

A regra da cadeia é usada para derivar uma função composta para funções de uma variável, se y = f (x) e x = h ( t ) tem se

(d y)/(d t) = (d f (x))/(d x) . (d x)/(d t)

Se ambas f e h forem deriváveis. Para funções de duas variáveis, tem se como 1º caso , o seguinte:

Suponha z = f ( x , y ) diferncialvel em x e y e de modo que x = g (t) e y = h (t) diferenciáveis em t. Então z é diferenciável em t de forma que

(d z)/(d t) = (del z)/(del x) . (d x)/(d t) + (del z)/(del y) . (d y)/(d t)

Passo 2

Para a função da nossa questão temos:

(d f (x , y))/(d t) = (del f (x , y))/(del x) . (d x ( t_0 ))/(d t) + (del f (x , y))/(del y) . (d y (t_0))/(d t)

(del f (x , y))/(del x) = (2 x)/(x^2 + y^2)

(del f (x , y))/(del y) = (2 y)/(x^2 + y^2)

(d x ( t_0 ))/(d t) = 2

(d y (t_0))/(d t) = 8 t_0

Passo 3

Substituindo as equações encontradas na fórmula da regra da cadeia do 1º caso

(d f (x , y))/(d t) = (2 x)/(x^2 + y^2) 2 + (2 y)/(x^2 + y^2) 8 t_0 = (4 (2 t + 1) + 16 (4 t^3 - 5 t))/(16 t^4 - 3 6 t^2 + 4 t + 26)

Resposta

(4 (2 t + 1) + 16 (4 t^3 - 5 t))/(16 t^4 - 36 t^2 + 4 t + 26)

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