Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.5 - Ex. 6

Use a regra da cadeia para achar d z d t ou d w d t

w = l n   x ² + y ² + z ²

Passo 1

Opa, tudo tranquilo? Questãozinha de regra da cadeia, vamos lá!

A questão nos dá uma função w ( x ,   y ,   z ) = l n   x ² + y ² + z ²   , onde x = s e n ( t ) , y = c o s ⁡ ( t ) e z = t g ( t ) , e pede para determinarmos d w d t !

Para isso, devemos usar a regra da cadeia para funções de múltiplas variáveis!

Para uma função no formato w ( x , y ,   z ) onde x = x ( t ) , y = y ( t ) e z = z ( t ) a derivada d w / d t pode ser definida como:

d w d t =   ∂ w ∂ x ⋅ d x d t + ∂ w ∂ y ⋅ d y d t + ∂ w ∂ z ⋅ d z d t

Dessa forma, só precisamos encontrar esses termos e substituir nessa fórmula!

Passo 2

Primeiro vamos determinar as derivadas parciais de x , y e z :

∂ x ∂ t = cos ⁡ t

∂ y ∂ t = - s e n t

∂ z ∂ t = sec 2 ⁡ t = 1 + t g 2 t

Passo 3

Agora vamos olhar as derivadas parciais em relação a w

∂ w ∂ x = ∂ ∂ x ln ⁡ x 2 + y 2 + z 2

Que pode ser encontrado utilizando a regra da cadeia tradicional!

∂ w ∂ x = 1 x 2 + y 2 + z 2 ⋅ 1 2 x 2 + y 2 + z 2 ⋅ 2 x

Simplificando isso tudo

∂ w ∂ x = x x 2 + y 2 + z 2

Escrevendo em termos de t , isto é, substituindo os valores de x , y e z , temos

∂ w ∂ x = x x 2 + y 2 + z 2

∂ w ∂ x = sen ⁡ t cos 2 ⁡ t + s e n 2 t + sec 2 ⁡ t

Usando a identidade trigonométrica s e n 2 t + cos 2 ⁡ t = 1

∂ w ∂ x = sen ⁡ t 1 + sec 2 ⁡ t

∂ w ∂ x = sen ⁡ t 1 + 1 cos 2 ⁡ t

∂ w ∂ x = sen ⁡ t cos 2 ⁡ t + 1 cos 2 ⁡ t

De forma que finalmente chegamos em

∂ w ∂ x = sen ⁡ t cos 2 ⁡ t 1 + cos 2 ⁡ t

E agora as outras derivadas são bem parecidas, concorda? É só trocar o numerador pra y e z !

∂ w ∂ y = y x 2 + y 2 + z 2 = cos 3 ⁡ ( t ) 1 + cos 2 ⁡ t  

∂ w ∂ z = 2 z x 2 + y 2 + z 2 = cos ⁡ t tan ⁡ t 1 + cos 2 ⁡ t

Passo 4

Agora vamos juntar tudo!

d w d t =   ∂ w ∂ x ⋅ d x d t + ∂ w ∂ y ⋅ d y d t + ∂ w ∂ z ⋅ d z d t

d w d t = sen ⁡ t cos 2 ⁡ t 1 + cos 2 ⁡ t cos ⁡ t + cos 3 ⁡ ( t ) 1 + cos 2 ⁡ t   - s e n t + cos ⁡ t tan ⁡ t 1 + cos 2 ⁡ t sec 2 ⁡ t

O primeiro e o segundo termo são iguais só que com sinais trocados, então eles se cancelam. Assim ficamos com

d w d t = cos ⁡ t tan ⁡ t 1 + cos 2 ⁡ t sec 2 ⁡ t

Simplificando

d w d t = cos ⁡ t tan ⁡ t 1 + cos 2 ⁡ t sec 2 ⁡ t

d w d t = cos ⁡ t tan ⁡ t 1 + cos 2 ⁡ t ⋅ 1 cos 2 ⁡ t

d w d t = tan ⁡ t cos ⁡ t 1 + cos 2 ⁡ t

Show!

Resposta

d w d t = tan ⁡ t cos ⁡ t 1 + cos 2 ⁡ t

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Verificar a regra da cadeia (d f)/(d t) = (del f)/(del x) . (d x)/(d t) + (del f)/(del y) . (d y)/(d t) Para a função f (x , y) = s e n ( 2 x + 5 y ) x = c o s t y = s e n t
Determinar (d z)/(d t) , usando a regra da cadeia z = (x)/(y) , x = e^(- t) , y = l n t
Verificar a regra da cadeia (d f)/(d t) = (del f)/(del x) . (d x)/(d t) + (del f)/(del y) . (d y)/(d t) Para a função f (x , y) = ln (x^2 + y^2) x = 2 t + 1 y = 4 t^2 - 5
Seja h t = f e 2 t , c o s t , onde f : R 2 →R é uma diferenciavel a) Determinar h ' t em função das derivadas parciais de f b)Sabendo que ∂ f ∂ x e 2 π , - 1 = 1 e 2 π , determinar h ' π .
Determinar (d z)/(d t) , usando a regra da cadeia z = t g (x^2 + y) , x = 2 t , y = t^2