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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 7.10 - Ex. 32

Calcular o centro de massa de uma lâmina plana quadrada de 4cm de lado, com densidade de massa constante.

Passo 1

Para resolvermos questões relacionadas a centro de massa e momento de inercia precisamos da seguinte teoria :

Consideramos um sistema cuja massa total esta distribuída numa região do plano e não apenas num conjunto formado por um número finito de pontos, os conceitos de massa, centro de massa e momento são definidos por meio de integrais duplas. Por exemplo, consideremos uma lâmina fina tendo a forma de uma região D do plano e assumamos que a massa está distruibuida sobre essa lâmina com densidade (massa por unidade de área ) conhecida, isto é, existe uma função positiva f definida em D tal que f ( x , y ) representa a massa por unidade de área em x , y .

Podemos calcular a massa total de D por

m   =   ∬ D f x , y d x d y

E o centro de massa é dado por ( x ' , y ' )

x ' = ∬ D x f x , y d x d y m

y ' = ∬ D y f x , y d x d y m

Passo 2

Vamos considerar um quadrado com centro na origem.

Como a densidade é constante, seja f ( x , y )   =   k , logo a posição do centro de massa será:

- 2 ≤ x ≤ 2

- 2 ≤ y ≤ 2

m   =   k ∫ - 2 2 ∫ - 2 2 d x d y = 16 k

x ' = k ∫ - 2 2 ∫ - 2 2 x d x d y m = 0

y ' = k ∫ - 2 2 ∫ - 2 2 y d x d y m = 0

Resposta

( 0,0 )

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